Математические модели (ММ) служат для описания свойств объектов в процедурах АП. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности .
Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.
Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y = (y1, y2, ..., ym). Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значения j-го параметра через yjист и yjm соответственно, определим относительную погрешность Ej расчета параметра Yj как
Ej = (yjm - yjист)/yjист (2.1)
Получена векторная оценка Е = (E1, E2, ..., Em). При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора Е, например
Em = ||E|| = maxEj.
j O [1m]
Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность Ej зависит от значений Q и Х.
Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности Eм в некоторой точке Qном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (АО) математической модели:
OA = {Q|Em, d},
где d - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.
Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.
Классификация математических моделей
Рассмотрим основные признаки, классификации и типы ММ, применяемые в САПР .
По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.
Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.
В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки соединений) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.
В геометрических ММ отображаются свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; совокупностью алгебраических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, и т.п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используют несколько типов геометрических ММ.
Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.
По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.
Полная модель - эта модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояние всех элементов проектируемого объекта).
Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.
По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.
Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров.
Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.
Имитационная ММ - это алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.
