ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

1. Знищення ірраціональності в знаменнику.

Нехай дано дріб , де , - ірраціональний корінь многочлена .

Якщо - многочлен степеня , то в полі розкладу він має крім , корені . Для знищення ірраціональності в знаменнику заданого дробу домножимо на , отримаємо

(*)

добуток є значенням симетричного многочлена при і , тобто є раціональним числом.

Таким чином ірраціональність в знаменнику знищено.

Чисельник і знаменник правої частини співвідношення (*) можна обчислити не знаючи коренів многочлена .

Виразимо знаменник через основні симетричні многочлени від і далі по формулам Вієта – через коефіцієнти многочлена .

В чисельнику добуток симетричний відносно , а тому рацонально виражається через коефіцієнти многочлена

,

який має корені .

Коефіцієнти цього многочлена раціонально виражаються через і коефіцієнти . Вони знаходяться діленням на за схемою Горнера.

2. Обчислення сум -х степенів коренів рівняння , .

Нехай - корені рівняння. Тоді є степенева сума. Представимо цю суму через основні симетричні многочлени. За формулами Вієта знайдемо значення основних симетричних многочленів, а отже, і значення суми -х степенів коренів рівняння.

3. Обчислення значення симетричного многочлена від коренів рівняння: .

Спосіб обчислення значення симетричного многочлена від коренів рівняння викладено у п. 2.

4. Побудова по заданому многочлену з коренями нового многочлена , корені якого виражаються через відповідні корені за допомогою співвідношень , де .

Представимо у виді:

,

де

;

;

................................................

Перетворюючи праві частини наведених співвідношень для застосування формул Вієта, отримаємо, що коефіцієнти є значеннями деяких симетричних многочленів над Р при значеннях змінних, рівних кореням . Шукані коефіцієнти виражаються через коефіцієнти заданого многочлена причому ці коефіцієнти будуть належати тому ж полю Р, що і коефіцієнти .

5. Степеневі суми.

Степеневі суми – це многочлени виду

,

За основною теоремою про симетричні многочлени вони повинні виражатися через основні симетричні многочлени.

Але при великих значеннях це зробити важко, і тому встановлюють зв’язок між многочленами , і . Цей зв’язок встановлюється наступними формулами Ньютона: