Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

1) напрям (®);

2) початок відліку (точка 0);

3) відрізок, який приймають за одиницю масштабу.

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е₂).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е₃).

На Малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

a) b)

Мал.3

Вісь 0_х називають віссю абсцис; 0_у – вісь ординат; 0_z – вісь аплікат. Орт осі 0_х позначають , орт осі 0_у – вектор , орт осі 0_z – вектор .

Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами точки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо точки А₁ та В₁ – проекції точок А та В.

Означення 2. Проекцією вектора на вісь називається довжина вектора , яка взята із знаком “+”, якщо напрям співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (див. Мал.4).

Позначають: пр₁ .

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (див. Мал.4).

а) b)

Мал.4.

Знайдемо пр₁ :

У випадку а) маємо: пр₁ =

У випадку b) маємо:

пр₁ =

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати а_х, а_у, а_z тобто = (а_х, а_у, а_z) і утворює з осями координат кути тоді

а_х = | | , а_y = | | , а_z = | | ,

, називають напрямними косінусами вектора . З попередніх формул маємо:

Розглянемо вектор , де М₁(х₁,y₁) – початок вектора, М₂(х₂,y₂) – кінець вектора (див.Мал.5). в цьому випадку

тобто координати вектора - це впорядкована пара чисел (х₂ – х₁; y₂ – y₁).

Аналогічно одержуємо, що координатами вектора у просторі буде впорядкована трійка чисел (х₂ – х₁; y₂ – y₁; z₂ – z₁).

Мал.5

Отже, можна сформулювати правило:

Координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

Наприклад, вектор , початок якого знаходиться в точці М₁(2,-3,0), кінець – в точці М₂(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

Зауваження. Вектор ( де точка 0 – початок координат) називають радіусом-вектором точки А і позначають . Координати вектора співпадають з координатами точки А.

По аналогії з векторами = (а_х, а_у) із Е₂ та вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Е_n, а їх елементи називають координатами вектора.

Наприклад,