ПОЛУЧЕНИЕ МОДЕЛИ МЕТОДОМ ОЦКП

Исходными данными являются базовые значения факторов (число факторов k=n=3) и шаги варьирования. Задана матрица планирования эксперимента и результаты трёх дублирующих эскпериментов (для каждого эксперимента проведено 3 дублирующих опыта, n=3 – количество факторов,

m=3 – количество дублирующих опытов). Общее количество экспериментов в методе ортогонального центрального композиционного планирования

Обозначим L – порядковый номер эксперимента, L = 1,…,N .

В случае трёхфакторного эксперимента N=15 (15 экспериментов). Результаты всех опытов запишем в виде матрицы размерности 15х3, обозначим её элементыY lj, где l-номер эксперимента, а j-номер дублирующего опыта.

Результаты опытов

Находим среднее значение в каждой серии опытов:

Базовые значения факторов (от 0 до 10)

Шаги варьирования факторов (от 0 до 1)

Исходные данные для ОЦКП

Матрица планирования Z

Общий вид матрицы планирования эксперимента ОЦКП:

где l-номер опыта, от 1 до15, j-номер фактора, от 1 до 3.

Найдём дисперсию в каждой серии опытов по формуле:

I. Найдём коэффициенты нормированной модели

где X1, X2, X3-нормированные значения факторов.

ЛИНЕЙНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b1, b2, b3 находят по формуле:

Zlj - элементы матрицы планирования экспериментов, при этом 1-й столбец матрицы планирования скалярно умножается на столбец средних значений.

Коэффициенты b2,b3 рассчитываются аналогично, но вместо первого столбца берутся соответственно второй и третий.

СМЕШАННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b12, b13, b23 находят по формуле:

при этом перемножаются два столбца (i-ый и j-ый) из матрицы планирования и столбец средних значений.

Например, требуется найти

Аналогично можно найти b13 и b23.

КВАДРАТИЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b11, b22, b33 находят по формуле:

Аналогично находим b22 (j=2), b33(j=3).

СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН рассчитываем по формуле:

II. Проверим значимость найденных коэффициентов по t-критерию Стьюдента.

Дисперсии коэффициентов находят по следующим формулам.

Для линейных коэффициентов:

D_в=(D₁+D₂+…+D₁₅)/15 – дисперсия воспроизводимости опытов,

Для проверки значимости смешанных коэффициентов используются расчётные формулы:

Для проверки значимости квадратичных коэффициентов используются расчётные формулы:

Для проверки значимости свободного члена используются расчётные формулы:

Значения табличных коэффициентов приведены в [9], с. 87.

Для проверки значимости коэффициентов находим расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле:

Для всех коэффициентов достаточно найти одно значение t крит по таблице критических значений для t-критерия Стьюдента при f=N(m-1)=15(3-1)=30

Если t расч(b)<t крит, то коэффициент b незначимый, его исключают из модели, приравнивая к нулю. Например, если t расч(b12)<t крит., то b12=0

Если t расч (b)>t крит, то коэффициент значимый и его оставляют в модели.

После того, как в модели остались только значимые коэффициенты, нужно проверить адекватность полученной математической модели по критерию Фишера, то есть сравнить значения Y, полученные при расчёте по нормированной модели (1) с средними значениями по каждой сери и опытов. При расчете по нормированной модели в качестве значений X1, X2, X3 выбирают L-ую строку матрицы

планирования и находят при

Например, если все коэффициенты значимые

Сравнить между собой значения результатов эксперимента с значениями, рассчитанными по найденной математической модели позволяет дисперсия адекватности

а d - количество незначимых коэффициентов, которые мы исключили из модели(приравняли к нулю).

Например, если d=0

Расчётное значение критерия Фишера

где Dв -дисперсия воспроизводимости, которую мы использовали при проверке значимости коэффициентов.

Табличное (критическое) значение критерия Фишера

F крит находят по таблице.

Степени свободы f1 и f2 выбирают по правилу.

1) Если DА<Dв, то f1=N-d=15-d

f2=N(m-1)=15(3-1)=30

2) Если Dв<DA, то f1=N(m-1)=30

f2=N-d=15-d

Если F расч. < F крит., то получена адекватная нормированная модель (1)

Если F расч. > F крит., то модель неадекватна, её использовать нельзя. Для получения адекватной модели рекомендуется уменьшить шаги варьирования (DX1= d₁, DX2= d₂, DX3= d₃).

III. Если нормированная модель (1) адекватна, то нужно перейти к реальным физическим величинам.

Для этого в модель (1) с учётом того, что незначимые коэффициенты =0 нужно подставить