Направляющие косинусы вектора.

Пусть дан вектор ( _х, _у, _z).

Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оуи Oz соответственно буквами , и . Три числаcos , cos иcos принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая = (1; 0; 0) получаем из (9)

Аналогично

Из формул (11) - (13) следует:

1) сos² + cos² + cos² = 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,

Пример. Найти направляющие косинусы вектора (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем

6. Векторное произведение: определение и свойства. Площадь параллелограмма и треугольника. Выражение векторного произведения через координаты

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве.

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7. Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойствасмешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

Аналитическая геометрия

1. Прямая на плоскости. Нормальные уравнения прямой нормальный вектор прямой. Прямая и уравнение первой степени.

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой