Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом:
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.
Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci.
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
Решение уравнения будем искать в виде
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем:
………………
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
Окончательно получим:
Итого:
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.
После подстановки полученных значений получаем:
Ряды Фурье.
( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)
Тригонометрический ряд.
Определение. Тригонометрическим рядомназывается ряд вида:
или, короче,
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл
Такой результат получается в результате того, что .
Получаем:
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Отсюда получаем:
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.
Получаем:
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурьедля функции f(x).
Определение. Рядом Фурьедля функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке
[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].
Теорема.Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкойна отрезке [-p;p].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].
y
f(x)
a - 2T a a b a+2T a + 4T x
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].
Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.
Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p;p].
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
Получаем:
.
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
Ряды Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
Для нечетной функции:
Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
Определение. Последовательность функций j1(x), j2(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.
Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функцийj1(x), j2(x), …,jn(x) называется ряд вида:
коэффициенты которого определяются по формуле:
,
где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
Интеграл Фурье.
Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.
и будем последовательно дифференцировать его по х.
Такой результат получается в результате того, что 
.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
, т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
y
с периодом T = 2p на отрезке [-p;p].
Получаем:
.
,
и
