Полосовой фильтр Баттеруорта /12/.

Как известно, полосовой фильтр можно получить непосредственной комбинацией низкочастотного и высокочастотного фильтра при перекрытии полосы пропускания фильтров. Аналогичный эффект достигается и частотным преобразованием ФНЧ, которое в этом случае имеет вид:

p = s+1/s. (10.3.1)

Подставив в (10.3.1) значения p = jW и s = jw, получим:

W = [w²-1]/w,

w²-Ww-1 = 0. (10.3.2)

Корни уравнения (10.3.2):

(w)_1,2 = W/2 . (10.3.3)

Расщепление спектра. При W=0 имеем w = 1, т.е. центр полосы пропускания ФНЧ (от -W_c до +W_c) расщепляется на два (как и положено, для полосовых фильтров) и смещается в точки w = 1. Подставив в (10.3.3) граничную частоту W_с=1 нормированного ФНЧ, определяем граничные частоты нормированного полосового фильтра в виде пары сопряженных частот:

w₁ = 0.618, w₂ = 1.618

Рис. 10.3.1. Расщепление полосы.

Сущность произведенного преобразования наглядно видна на рис. 10.3.1. Ширина полосы пропускания нормированного ПФ равна 1.

Полученное преобразование можно распространить на полосовой фильтр с ненормированными частотами w_н и w_в.

Введем понятие геометрической средней частоты фильтра w_о:

w_о= . (10.3.4)

Ширина полосы пропускания ПФ связана (см. рис.10.3.1) с граничной частотой ФНЧ соотношением:

Dw = w_в-w_н = w_с = w_н.

В долях средней геометрической частоты:

W_н = (w_в-w_н)/w_о = W_c. (10.3.5)

Заменяя в (10.3.4-10.3.5) значение w_в на произвольную частоту w и подставляя в (10.3.5) значение ω_н = ω·ω_о² из (10.3.4), получаем произвольную частоту W:

W = (w-w_н)/w_о = w/w_o-w_o/w. (10.3.6)

Отсюда, в выражении (10.1.1) вместо нормированной частоты W = w/w_с можно применить функцию частоты полосового фильтра w(w):

w(w) = (w²-w_о²)/[w(w_в-w_н)],

или, подставляя (10.3.4) вместо ω_о:

w(w) = (w²-w_нw_в)/[w(w_в-w_н)]. (10.3.7)

Тем самым передаточная функция ФНЧ выражается в единицах, которые позволяют после применения преобразования (10.3.1) использовать для задания необходимые граничные частоты w_н и w_в полосового фильтра.

Пример расчета полосового фильтра Баттеруорта.

Техническое задание:

- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек. Частота Найквиста f_N = 1/2Dt = 1000 Гц, ω_N = 6.283·10³ рад.

- Нижняя граничная частота полосы пропускания: f_н = 340 Гц, w_н = 2.136·10³ рад.

- Верхняя граничная частота полосы пропускания: f_в = 470 Гц, w_в = 2.953·10³ рад.

- Крутизна срезов в децибелах на октаву: К_р = 45.

Расчет параметров:

Рис. 10.3.2.

1. Порядок фильтра по формуле (10.1.6'): N = К_р/6 = 45/6 = 7.5.

Для расчетов принимаем N=8.

2. Строим график функции H(w) = с использованием выражения (10.3.7). Передаточная характеристика фильтра приведена на рис. 10.3.2.

3. Деформированные частоты по формуле (10.1.4):

w_dн = 2.366·10³ рад. w_dв = 3.64·10³ рад. w_do = 2.934·10³.

Полосовой фильтр на s-плоскости. С учетом деформации частот, принимаем p = jw = j(w²-w_dнw_dв)/[w(w_dв-w_dн)], s= jω и заменяем ω = s/j в выражении р:

р = (s²+w_dнw_dв)/[s(w_dв-w_dн)],

s²-p(w_dв-w_dн)s+w_dнw_dв = 0. (10.3.8)

Корни уравнения (10.3.8) определяют местоположение полюсов ПФ:

s = s* = p(w_dв-w_dн)/2 . (10.3.9)

Уравнение (10.3.9) показывает расщепление каждого p-полюса, определяемых выражением (10.1.14), на два комплексно сопряженных полюса s-плоскости, произведение которых будет давать вещественные биквадратные блоки в s-плоскости. При этом следует учесть то обстоятельство, что устойчивому рекурсивному фильтру на z-плоскости должны соответствовать полюса только одной (левой) половины p- и s - плоскостей.

Передаточная функция. При применении преобразования (10.3.1) к передаточной функции в полиномиальной форме (10.1.11), получаем:

H(p) = G 1/(p-p_m) ó G s/(s²-p_m s+1) = H(s), (10.3.10)

Выражение (10.3.10) не требует нахождения полюсов, т.к. они уже известны и определяются выражением (10.3.9). С учетом этого функция H(s) может быть записана с объединением в биквадратные блоки комплексно сопряженных полюсов с вещественными коэффициентами:

H(s) = G s/[(s-s_m)(s-s*_m)] = G s/(s²+a_m s+g_m), (10.3.11)

где значения а_m и g_m могут быть определены непосредственно по полюсам (10.3.9):

a_m = -2 Re s_m, g_m = (Re s_m)² + (Im s_m)² = |s_m|². (10.3.12)