Замечание

Область изменения параметра t и расположение на ней точек, соответствующих стыковочным узлам, могут быть совершенно произвольными. Наиболее простой является равномерная параметризация, с равноотстоящими целочисленными узлами.

Указанная выше составная В-сплайновая кубическая кривая является С²-гладкой кривой и лежит в объединении m-2 выпуклых оболочек, порожденных последовательными четверками точек заданного набора. Добавляя в исходный набор дополнительные точки, можно получать составную В-сплайновую кубическую кривую с разными свойствами.

Например, при добавлении к заданному набору двух точек

V_-1 = (V₀ - V₁) + V₀, V_m-1 = (V_m - V_m-1) + V_m

и соответствующем расширении отрезка изменения параметра до [0, m] получим составную В-сплайновую кубическую кривую, которая будет начинаться в точке V₀, касаясь отрезка V₀V₁, и заканчиваться в точке V_m, касаясь отрезка V_m-1 V_m.

А для того, чтобы по заданному массиву построить С²-гладкую замкнутую В-сплайновую кривую, достаточно выбрать три дополнительные точки

V_m+1 = V₀, V_m+2 = V₁, V_m+3 = V₃ и рассмотреть набор V₀,V_l, „...,V_m+3

Перейдем к случаю, когда узлы расположены на отрезке изменения параметра t неравномерно.

Заменим в векторном уравнении (2) многочлены Бернштейна на В-сплайны (базовые (base) сплайны), введя новые функциональные коэффициенты при помощи рекуррентных формул.

Пусть 0 = t₀ < t₁ < ... < t_m-1 < t_m = 1 -' разбиение отрезка [0, 1].

Положим

N_il(t) = l, tÎ[t_i.t_i+1],

N_il(t) = 0, t [t_i, t_i+1]

и далее (рис. 14)

Заметим, что с увеличением индекса q степень многочленов, определяющих вводимые функции N_iq(t),-растет: для функций на I., отрезке t_i, l_i+q] она равна q-1.

Отметим еще некоторые очевидные свойства этих функций:

N_i,q(t) > 0 на интервале (t_i, t_i+q);

• N_i,q(t)=0 вне интервала (t_i, t_i+q);

• на всей области задания функция N_i,q(t), q ³ 3, имеет непрерывные производные до порядка q-2 включительно.

Кроме того, для введенных функций сохраняется равенство

Это означает, что кривая, заданная векторным уравнением

r(t) = V_i

всегда принадлежит выпуклой оболочке вершин заданного массива.