Однородные координаты пространства. Аффинные преобразования в пространстве.

Обратимся теперь к трехмерному случаю (3D) (3-dimension) и начнем наши рассмотрения сразу с введения однородных координат.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в 2D, заменим координатную тройку (х, у, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел (х y z 1) или, более обще, на четверку (hx hy hz ), h ¹ 0.

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных, трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращении, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

А. Матрицы вращения в пространстве

Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j:

Матрица вращения вокруг оси ординат на угол y:

Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол c:

Замечание

Полезно обратить внимание на место знака "-" в каждой из трех приведенных матриц.

Б. Матрица растяжения (сжатия):

где

a > О - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;

b > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;

g > 0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат).

В. Матрицы отражения

Матрица отражения относительно плоскости ху.

Матрица отражения относительно плоскости уz:

Матрица отражения относительно плоскостиzx:

Матрица переноса (здесь (l, m, n) - вектор переноса):