Математическое обеспечение САПР ТП

Выполнение проектных процедур при автоматизированном технологическом проектировании основано на оперировании с математическими моделями, методами и алгоритмами.

Математическое обеспечение САПР ТП – совокупность математических методов, моделей, алгоритмов, необходимых для выполнения автоматизированного проектирования ТП.

Под математической моделью (ММ) ТП и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающий с требуемой точностью рассматриваемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении ММ используют различные математические средства описания объекта – теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и др.

К ММ, применяемым в САПР ТП, предъявляются требования точности, экономичности и универсальности.

ТочностьММоценивается степенью соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров . Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значение -го выходного параметра через и соответственно, можно определить относительную погрешность расчета параметра по формуле:

.

При необходимости сведения этой векторной оценки к скалярной величине используют норму вектора , например:

.

АдекватностьММ – свойство модели отображать заданные свойства объекта c погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ оценивается перечнем отражаемых свойств и областью адекватности (ОА) – ограниченной областью изменения вектора внешних параметров, в которой погрешность значений переменных не превышает некоторой заданной постоянной величины :

; .

Экономичность(вычислительная эффективность) математической модели определяется затратами машинных времени и памяти на реализацию модели.

Степень универсальностиММ характеризует полноту отражения в модели свойств реального объекта.

Классификация ММ, применяемых в проектировании ТП и его элементов, приведена в таблице 9. По характеру отображаемых свойств объекта ММ делят на структурные (структурно-логические) и функциональные.

Структурные (структурно-логические) ММ подразделяются на три группы:

1 табличные ММ;

2 сетевые ММ;

3 перестановочные ММ.

Табличная ММ описывает одну конкретную структуру ТП. В табличной модели каждому набору условий соответствует единственный вариант проектируемого

технологического процесса. Поэтому табличные модели нашли применение для поиска ТР.

В качестве примера рассмотрим применение табличных моделей для установления последовательности поверхностей группы деталей на прутковом токарном станке-автомате. Каждая деталь (рисунок 28) имеет поверхности с определенными свойствами .

Таблица 9 – Классификация математических моделей в САПР ТП

а) б)

в)

а – деталь ; б – деталь ; в – деталь

Рисунок 24 – Эскизы деталей для обработки на токарном прутковом станке-автомате

На рисунке 25 представлены табличные модели в виде графов взаимосвязей переходов при обработке деталей на данной операции.

Для представления данных об обработке деталей на данной операции на языке, удобном для программирования, представленная выше информация может быть удобно

а)

б)

в)

τ₁ … τ₈ – операторы (технологические переходы): τ₁ – подрезка торца;

τ₂… τ₄ – точение наружной цилиндрической поверхности; τ₅ – сверление;

τ₅ – зенкерование; τ₇ – зенкование; τ₈ – отрезка.

Рисунок 25 – Табличные модели в виде графов

описана в виде таблиц 10 и 11. В данных таблицах единица обозначает наличие связи, а нуль – отсутствие таковой.

Таблица 10 – Связи между свойствами поверхностей деталей и операторами (технологическими переходами)

Сетевые ММописывают множество структур ТП, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при неизменном отношении порядка. Структура элементов сетевой модели описывается ориентированным графом, не имеющим ориентированных циклов. В модели может содержаться несколько вариантов проектируемого ТП, однако во всех вариантах порядок элементов одинаков. В качестве примера рассмотрим сетевую модель технологического маршрута обработки зубчатого колеса, эскиз которого показан на рисунке 25.

На рисунке 26 представлен граф взаимосвязи операторов (технологических операций) по возможной последовательности их выполнения. Приведенный граф легко представляется в виде матрицы графа, которая в свою очередь может быть без труда описана в виде массива информации, являющегося атрибутом любого языка программирования.

Таблица 11 – Связи между совокупностями свойств деталей и операторами (технологическими переходами)

Рисунок 25 – Эскиз детали «Зубчатое колесо»

Кроме данного графа сетевая модель включает в себя таблицу связей свойств поверхностей детали и операторов ТП – технологических операций (таблица 12).

Перестановочные ММ описывают множество структур ТП, отличающихся количеством и (или) составом элементов структуры при изменении отношения порядка. Отношения порядка в этих моделях задаются с помощью графа, содержащего ориентированные циклы.

В качестве примера перестановочной модели приведем модель расцеховки при изготовлении изделия (рисунок 27).

ФункциональныеММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в технологических системах при их функционировании. Обычно функциональные ММ представляются системой

τ₁ – заготовительная; τ₂– протяжная (протягивание базового отверстия);τ₃ – черновая токарная (черновое точение контура зубчатого колеса);

τ₄ – чистовая токарная (чистовое точение контура зубчатого колеса);

τ₅– зубофрезерная (черновое нарезание зубьев);τ₆ – зубофрезерная чистовая (чистовое нарезание зубьев); τ₇– термическая (объемная закалка);τ₈– внутришлифовальная (шлифование базового отверстия);τ₉ – зубошлифовальная (шлифование зубьев); τ₉´ – зубошевинговальная (шевингование зубьев);τ₁₀ – притирочная (притирка зубьев); τ₁₁– моечная (мойка деталей);τ₁₂ – контрольная (контроль технических характеристик детали)

Рисунок 26 – Граф взаимосвязи операторов (технологических операций)

по возможной последовательности их выполнения

Таблица 12 – Связи между свойствами поверхностей детали и операторами технологического процесса

P₁, P₂,…, P₈ – цехи: P₁ – литейный; P₂ – кузнечный; P₃ – механический;

P₄ – термический; P₅ – механосборочный; P₆ - общей сборки;

P₇ – испытательный; P₈ – упаковочный.

Рисунок 27 – Расцеховка при изготовлении изделия

уравнений (уравнением), описывающих фазовые переменные, , внутренние, внешние и выходные параметры. Общий вид функциональной ММ можно представить в виде:

,

где – управляемые переменные;

– неуправляемые переменные;

– ожидаемая эффективность.

При рассмотрении иерархических уровней ММ будут представлять собой модели на микроуровне, макроуровне и метауровне. Особенностью ММ на микроуровне является отображение физических процессов в непрерывном пространстве и времени.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях имеются две группы переменных – независимых (время) и зависимых (фазовых).

ММ наметауровне укрупнено описывают рассматриваемые объекты. В качестве математического аппарата таких моделей используют обыкновенные дифференциальные уравнения, целочисленное программирование, теорию массового обслуживания, элементы дискретной математики (сети Петри и т.д.).

ТеоретическиеММ строят на основе изучения теоретических закономерностей. Они универсальны и справедливы для широких диапазонов изменения технологических параметров. Теоретические модели бывают линейными и нелинейными, непрерывными и дискретными, динамическими и статическими. В большинстве случаев проектирования ТП используют дискретные и статические ММ.

Эмпирические ММ разрабатываются на основе результатов экспериментальных исследований и достаточно широко применяются, например, при автоматизированном расчете режимов резания.

В полной ММ учитываются связи всех элементов проектируемого объекта. Макро-ММотображает значительно меньшее число межэлементных связей.

АналитическиеММ представляют собой функциональные (как теоретические, так и эмпирические) модели, используемые, как правило при определении оптимальных параметров ТП (например, режимов резания).

АлгоритмическиеММ представляются в виде алгоритма.

ИмитационныеММ являются алгоритмическими, отражающими поведение исследуемого объекта во времени при заданных внешних воздействиях на объект.

Методика получения ММ элемента ТП в общем случае содержит пять стадий:

1 Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели.

2 Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта.

3 Синтез структуры ММ (общего вида математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров.

4 Расчет числовых значений параметров ММ.

5 Оценка точности и адекватности ММ.

Реализация функциональных ММ на ЭВМ подразумевает выбор численного метода решения уравнений ММ и преобразование уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований – получение рабочей программы в виде последовательности элементарных действий (арифметических и логических операций), реализуемых командами ЭВМ. Указанные преобразования исходной ММ в последовательность элементарных действий ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, создаваемым разработчиком САПР. Пользователь САПР должен лишь указать, какие программы из имеющихся он хочет использовать. Процесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, показан на рисунке 28.

Пользователь САПР задает исходную информацию об объекте и проектных процедурах, подлежащих выполнению. Ветвь 1 на рис. 33 соответствует постановке задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде дифференциального уравнения с частными производными (ДУЧП). Численные методы

ДУЧП – дифференциальные уравнения с частными производными; ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения;

АУ – алгебраические уравнения;

ЛАУ – линейные алгебраические уравнения

1…12 – взаимонаправленные пути дискретизации переменных

в математической модели

Рисунок 28 – Процесс преобразования математической модели

решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи. Дискретизация переменных заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных пространственном и временном интервале, алгебраизация задачи – в замене производных алгебраическими соотношениям.