Теорема: Если векторы 
и 
заданы своими координатами: = {Х1;У1; Z1}, 
= {Х2;У2; Z2}, то их скалярное произведение определяется формулой 
= Х1 Х2 +У1 У2+Z1 Z2 .
Доказательство:Разложим векторы и по базису 
, 
, 
: =Х1 + У1 + Z1 , = Х2 + У2 + Z2 . Используя замечание (1), получаем:
= Х1 Х2 2+Х1 У2 +Х1 Z2 +У1 Х2 +У1 У2 2 + У1 Z2 + Z1 Х2 + Z1 У2 + Z1 Z2 2.
Откуда, используя равенства (2), находим: =Х1 Х2+У1 У2+Z1 Z2. g
Из теоремы вытекают два важных следствия.
Следствие 1: Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов 
={Х1;У1; Z1}, и = {Х2;У2; Z2} является равенство: Х1 Х2 +У1 У2+Z1 Z2=0.
Следствие 2: Угол между векторами = {Х 1;У; Z 1}, = {Х2;У2; Z2} определяется равенством:
Cos φ= 
Действительно, по определению скалярного произведения = ½ ½½ ½ cos j, где j - угол, откуда cos j = 
. Пример: Даны три точки А (1;1 1), В (2; 1;2), С (2 ;1; 2). Найти угол j= Ð ВАС.
Решение. Применяя терему доказанную выше, найдем 
= {1 ;1;0;}, 
= {1;0;1}. Отсюда на основании следствия (2) получаем: cosj = 
= 
.
Следовательно, j = 600.
