Примечание 1

Оврагом называют часть пространства управляемых параметров, в которой наблюдаются слабые изменения производных целевой функции по одним направлениям и значительные изменения с переменой знака — по некоторым другим направлениям. Знак производной меняется в точках, принадлежащих дну оврага.

Рис. 2. "Застревание" покоординатного спуска на дне оврага

В то же время при благоприятной ориентации дна оврага, а именно при положении одной из координатных осей, близком к параллельности с дном оврага, поиск оказывается весьма быстрым. Эта ситуация показана на рис. 3.

Рис. 3. Траектория покоординатного спуска при благоприятной ориентации координатных осей

Метод Розенброка заключается в таком повороте координатных осей, чтобы одна из них оказалась квазипараллельной дну оврага. Такой поворот осуществляют на основе данных, полученных после серии из шагов покоординатного спуска. Положение новых осей может быть получено линейным преобразованием прежних осей : ось совпадает по направлению с вектором ; остальные оси выбирают из условия ортогональности к и друг к другу.

Другой удачной модификацией покоординатного спуска является метод конфигураций (Хука-Дживса). В соответствии с этим методом вначале выполняют обычную серию из шагов покоординатного спуска, затем делают дополнительный шаг в направлении вектора , как показано на рис. 4, где дополнительный шаг выполняют в направлении вектора , что и приводит в точку .

Рис. 4. Иллюстрация метода конфигураций

Поиск экстремума методом деформируемого многогранника (Нелдера-Мида) основан на построении многогранника с вершинами на каждом шаге поиска, где — размерность пространства управляемых параметров. В начале поиска эти вершины выбирают произвольно, на последующих шагах выбор подчинен правилам метода.

Эти правила поясняются рис. 5 на примере двумерной задачи оптимизации. Выбраны вершины исходного треугольника: , , . Новая вершина находится на луче, проведенном из худшей вершины (из вершины с наибольшим значением целевой функции) через центр тяжести многогранника, причем рекомендуется выбирать на расстоянии от , равном . Новая вершина заменяет худшую вершину . Если оказывается, что имеет лучшее значение целевой функции среди вершин многогранника, то расстояние увеличивают. На рисунке именно эта ситуация имеет место и увеличение дает точку . В новом многограннике с вершинами , , худшей является вершина , аналогично получают вершину , затем вершину и т.д. Если новая вершина окажется худшей, то в многограннике нужно сохранить лучшую вершину, а длины всех ребер уменьшить, например вдвое (стягивание многогранника к лучшей вершине). Поиск прекращается при выполнении условия уменьшения размеров многогранника до некоторого предела.

Рис. 5. Иллюстрация метода деформируемого многогранника

Методы случайного поиска характеризуются тем, что направления поиска выбирают случайным образом.

Особенностью метода наискорейшего спуска является выполнение шагов поиска в градиентном направлении

(1)

шаг выбирается оптимальным с помощью одномерной оптимизации.

При использовании метода наискорейшего спуска, как и большинства других методов, эффективность поиска существенно снижается в овражных ситуациях. Траектория поиска приобретает зигзагообразный вид с медленным продвижением вдоль дна оврага в сторону экстремума. Чтобы повысить эффективность градиентных методов, используют несколько приемов.

Один из приемов, использованный в методе сопряженных градиентов (называемом также методом Флетчера-Ривса), основан на понятии сопряженности векторов. Векторы и называют -сопряженными, если , где — положительно определенная квадратная матрица того же порядка, что и размер векторов и (частный случай сопряженности — ортогональность векторов, когда является единичной матрицей порядка ), — вектор-строка, — вектор-столбец.

Особенность сопряженных направлений для , где — матрица Гессе, в задачах с квадратичной целевой функцией заключается в следующем: одномерная минимизация последовательно по сопряженным направлениям позволяет найти экстремальную точку не более, чем за шагов.