Решение

Для решения задачи методом Куна-Таккера составляется функция Лагранжа, которая имеет вид:

L(x)=f(x)-Σν_ig_i(x),

где ЦФ является вес бака, определяемый по формуле:

f(x)=(π(R+t/2)²-π(R-t/2)²)hρg,

а ограничения на прочность, деформацию и объем находятся соответственно по формулам:

1) g₁(x)=PR/t-σ_c<0;

2) g₂(x)=PR(2-μ)/(2Et)-[ε] <0;

3) g₃(x)=-hπ(R-t/2)²)+V<0.

После нахождения производных функции L(x) по оптимизируемым параметрам исследуемая система уравнений дополняется следующими выражениями:

4) ¶L/¶ R=2hρgt-ν₁P/t-ν₂P(2-μ)/(2Et)+ν₃(2πRh-πth)=0;

5) ¶L/¶ t=2hρgR+ν₁PR/t²+ν₂PR(2-μ)/(2Et²)+ν₃(πth/2-πRh)=0.

Как уже было отмечено ранее (см. п. 3.1.3), необходимо рассмотреть следующие соотношения множителей Лагранжа и ограничений:

1) ν1>0,ν2>0, ν3>0; g1=0, g2=0, g3=0.

2) ν1=0,ν2>0, ν3>0; g2=0, g3=0.

3) ν1>0,ν2=0, ν3>0; g1=0, g3=0.

4) ν1>0,ν2>0, ν3=0; g1=0, g2=0.

5) ν1=0,ν2=0, ν3>0; g3=0.

6) ν1=0,ν2>0, ν3=0; g2=0.

7) ν1>0,ν2=0, ν3=0; g1=0.

8) ν1=0,ν2=0, ν3=0.

Исходные данные позволяют определить такой вариант сочетания ν и g, при котором параметры бака с жидкостью будут оптимальными.

Примеры апробированных задач проектирования

Изложенные методы оптимизации и рекомендации по их применению успешно были использованы студентами аэрокосмического факультета при выполнении заданий, курсовых и дипломных проектов для решения следующих задач проектирования.

1. Прочность балки прямоугольного сечения, работающей на сжатие, пропорциональна bh, а работающей на изгиб – пропорциональна bh², где b – ширина сечения балки, а h - высота сечения. Как нужно изготовить прямоугольную балку из круглой заготовки радиусом R, чтобы ее прочность была максимальной: а) при сжатии, б) при изгибе?

2. Сконструировать цилиндрический резервуар таким образом, чтобы суммарная площадь металлических листов, необходимая для постройки, была наименьшей, а резервуар мог вмещать, по крайней мере, V м³ жидкости. Выбрать в качестве переменных проектирования диаметр резервуара D и его высоту H.

3. Спроектировать фрикционную муфту минимального веса при заданной толщине дисков b и допущении: отношение наружного диаметра диска D₁ к внутреннему D₂ равно 2. Оптимизируемыми параметрами являются: D₂ и число пар трущихся поверхностей Z.

4. Спроектировать оптимальную по весу винтовую пару (передача “винт – гайка”) при ограничениях:

- контактного напряжения на поверхности витка;

- напряжения сжатия витка.

5. Приборный отсек ракеты должен содержать два вида приборов: А и В, для монтажа которых используются элементы трех типов. На изготовление прибора А требуется затратить элементы каждого типа: а₁=2шт., а₂=4 шт., а₃=4 шт. соответственно, на изготовление прибора В – b₁=6 шт., b₂=2 шт., b₃=1 шт. Производство обеспечено элементами каждого типа в количестве р₁=258 шт., р₂=256 шт., р₃=208 шт. Эффективность работы прибора А составляет a=6 (например, каналы связи), а прибора В - b=2. Составить план монтажа приборов А и В, обеспечивающий максимальную эффективность их работы.

6. На трех технических позициях: А₁, А₂, А₃ находится однородный груз в количестве 100 т, 190 т, 160 т соответственно. Этот груз нужно развести на пять стартовых позиций: В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, потребности которых в данном грузе составляют 80 т, 120 т, 60 т, 90 т, 100 т соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Значения тарифов следующие: C₁₁=7; C₁₂=4; C₁₃=3; C₁₄=8; C₁₅=15; C₂₁=20; C₂₂=16; C₂₃=7; C₂₄=14; C₂₅=13; C₃₁=12; C₃₂=9; C₃₃=10; C₃₄=6; C₃₅=10. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

l Рис. 3.14. Расчетная схема

Для арки постоянного поперечного сечения, очерченной по параболе и нагруженной q, требуется определить относительную стрелу подъема, при которой объем материала арки минимален (рис. 3.14). Указание: воспользоваться соотношениями , где L-длина дуги, F=const, , .

8. Проектировать пружину, работающую на растяжение, с целью минимизации объема, занимаемого полностью сжатой пружиной, так чтобы основная резонансная частота колебаний определялась по формуле

,

где G - модуль сдвига; N - число активных витков; D - средний диаметр спирали;

d - диаметр проволоки .

9.

Рис. 3.15. Схема редуктора

Минимизировать габаритные размеры планетарно-цилиндрического редуктора, представленного на рис. 3.15. В качестве целевой функции принять сумму межосевых расстояний цилиндрических ступеней редуктора: а1+а2. Ограничениями на контактную прочность и на общее передаточное отношение являются [s] и U соответственно. Исходными данными являются: крутящий момент на входном валу редуктора Т1; коэффициент нагрузок К; коэффициент ширины зуба yа.

10. Прямоугольный, сохраняющий тепло элемент длинной l, шириной b и высотой h может использоваться для того, чтобы запасать тепловую энергию. Коэффициенты потерь тепла из-за конвекции h_c и излучения h_г задаются соотношениями

h_c=k_cF(T-T_н),

h_г=k_гF(T⁴-Т⁴_н),

где - константы; Т - температура сохраняющего элемента; F - площадь поверхности; Т_н- температура окружающей среды.

Тепловая энергия, запасаемая элементом, находится из выражения

где k-константа; V-объем элемента.

Элемент в состоянии запасти, по крайней мере, Q^’ единиц энергии. Условия размещения ограничивают размеры элемента:

0 £ l £ l^’ ; 0 £ b £ b^’ ; 0 £ h £ h^’.

Необходимо:

а) определить размеры l, b, h такие, при которых потери тепла минимальны;

б) предположив, что константы k_c и k_г являются линейными функциями от t – толщины изоляции, определить размеры элемента, при которых издержки на изоляцию минимальны.

11.

l

Рис. 3.16. Схема фермы