Основные понятия и расчетные формулы

Отсутствие универсального метода решения общей задачи нелинейного программирования послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. К таким методам относится и метод геометрического программирования, возникший и получивший развитие в связи с задачами инженерного проектирования.

Основное требование метода геометрического программирования состоит в том, чтобы и целевая функция, и ограничения были выражены в виде так называемых позиномов, имеющих вид:

(2.22)

где - произвольные вещественные числа.

Анализ известных формул расчета деталей машин, а также всевозможных условий прочности, жесткости, устойчивости и др., показывает, что большая часть из них выражается зависимостями вида (2.22). Именно это обстоятельство позволяет считать метод геометрического программирования удачным для решения задач оптимального проектирования объектов машиностроения.

По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое программирование имеет следующие преимущества:

- позволяет выявить достаточно полную картину сравнительной значимости проекта и отдельных слагаемых частей целевой функции;

- минимальное значение целевой функции находится до определения оптимальных значений параметров;

- исходная задача с нелинейными целевой функцией и ограничениями сводится к двойственной задаче с нелинейной целевой функцией, но линейными ограничениями, решить которую легче, чем исходную задачу;

- имеется возможность количественной оценки степени трудности решаемой задачи;

- для реализации метода с применением ЭВМ можно разработать универсальный программный комплекс.

В общем случае исходную задачу геометрического программирования формулируют следующим образом: найти минимальное значение целевой функции f(x) при ограничениях , причем f(x) и левые части ограничений являются позиномами (2.22).

Одна из важнейших характеристик - степень трудности решаемой исходной задачи геометрического программирования – определяется из выражения

d = n-(m+1),

где п - общее число слагаемых членов во всех позиномах (в целевой функции и ограничениях); m - число оптимизируемых параметров.

Степень трудности решаемой задачи характеризуется:

- при d = 0 – сложностью решения системы n линейных уравнений;

- при d = 1 – сложностью решения одного нелинейного и системы n линейных уравнений;

- при d > 0 – сложностью решения системы d нелинейных алгебраических уравнений и n линейных уравнений.

Подход к оптимизации позиномиальных функций основан на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднее арифметическое. Использование неравенства для средних привело к появлению термина геометрического программирования.

Проиллюстрируем метод геометрического программирования (ГП) в случае линейных ограничений.

Неравенство для средних позволяет заключить, что для произвольных положительных чисел и таких чисел , что , имеет место соотношение

, (2.23)

причем равенство достигается в случае . Полагая , можно переписать выражение (2.23) для любых величин и , :

.

Неравенство обращается в равенство только тогда, когда .

Пусть . Тогда ЦФ f(x) = .

Следовательно, .

Неравенство имеет место при любых , таких, что . Предположим, что имеет место соотношение: . Тогда неравенство сводится к системе соотношений: для всех при и .
Поскольку неравенство может обращаться в равенство, можно получить

,

где удовлетворяет указанным соотношениям.

Рассмотрим следующую прямую задачу геометрического программирования.

Минимизировать при ограничениях .

Двойственная задача имеет следующий вид:

максимизировать при ограничениях:

1) , система неравенств называется условием неотрицательности;

2) , данное уравнение называется условием нормализации; следует учесть в дальнейшем, что оно составляется только для позиномов, входящих в ЦФ;

3) , указанная система уравнений называется условием ортогональности и составляется для всех позиномов; причем коэффициенты - вещественные числа, элементы матрицы экспонент ( или показателей) исходной задачи.