КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Такие методы предусматривают собой известные методы дифференциального исчисления.

Экстремум целевой функции f(х) находят из необходимого условия его существования, состоящего в том, что производная в точке экстремума равна нулю. Тогда оптимальное решение x^* можно найти из системы уравнений

.

Для того чтобы определить, является ли x^* точкой максимума или минимума, используют достаточные условия существования экстремума, согласно которым: если производная в точке экстремума меняет знак с плюса на минус, то f(x^*) есть максимум целевой функции; если производная в точке экстремума меняет знак с минуса на плюс, то f(x^*) есть минимум целевой функции.

Если представленные уравнения нелинейные, то решить их систему аналитическим путем удается крайне редко. В этих случаях используют ЭВМ и соответствующие численные методы или методы нелинейного программирования. В последнем случае задачу решения системы сводят к задаче минимизации функции:

.

Рассматриваемые методы исследования функций классического анализа можно использовать для решения относительно несложных задач оптимизации без ограничений. Однако большинство инженерных задач связано с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру нахождения оптимума. Однако при наличии ограничений даже может нарушаться условие, в соответствии, с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом.

Например, безусловный минимум функции f(x) = (x-2)² имеет место в стационарной точке x = 2. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f(x), так как