Сутьність методу сіток полягає в апроксимації шуканої безперервної функції сукупністю наближених значень, розрахованих в деяких точках області – вузлах. Сукупність вузлів, сполучених деяким чином формують сітку. Сітка є дискретною моделлюобласті визначення початкової функції.
Застосування методу сіток дозволяє звести диференціальне краєве завдання до системи нелінійних в загальному вигляді алгебраїчних рівнянь щодо невідомих вузлових значень функції.
У загальному випадку алгоритм методу сіток складається з трьох етапів:
1. Побудова сітки в заданій області (дискретизаціязавдання);
2. Отримання системи алгебраїчних рівнянь щодо вузлових значень (алгебраізаціязавдання);
3. Вирішенняотриманої системи рівнянь алгебри.
Найчастіше використовують два методи сіток: метод кінцевих елементів (МКЕ) і метод кінцевих різниць(МКР). Вони відрізняються на етапах 1 і 2 алгоритму, на 3 етапі – практично ідентичні.
МКЕ
Сутьність методу кінцевих елементів полягає в тому, що область, яка зайнята тілом і підлягає аналізу, розбивається на безліч дискретних областей (елементів), зв'язаних між собою в кінцевому числі точок (вузлів). Сукупність сформованих елементів в об'ємі тіла і є його математичною моделлю, яка згодом аналізується вже як багаторазово статично невизначена система. Основними невідомими такої системи є ступені свободи вузлів кінцево-елементної моделі. До ступенів свободи відносяться переміщення, повороти, а також температури, тиск, швидкості, потенціали електричних або магнітних полів; їх конкретний зміст визначається типом елементу, який пов'язаний з даним вузлом.
У загальному випадку МКЕ складається з чотирьох етапів:
1. Виділення кінцевих елементів (розбиття заданої області на КЕ);
2. Визначення апроксимуючої функції для кожного елементу;
3. Об'єднання КЕ в систему алгебраїчних рівнянь;
4. Визначення вузлових значень функції.
Існує ряд методів споріднених МКЕ: метод кінцевих різниць, метод граничних елементів тощо. Кожен з них в чомусь перевершує МКЕ при вирішенні певного кола завдань, проте МКЕ є гнучкішим і універсальним.
Міцнісний аналіз зварних конструкцій є найбільш поширеним використанням методу кінцевих елементів. Основними невідомими, які визначаються у всіх типах міцнісного аналізу конструкцій, є вузлові переміщення. Решта величин – деформації, напруження, зусилля – обчислюються за цими переміщеннями.
МКР
У МКР також будується сітка в заданій області, що формується кінцевою безліччю вузлів. У вузлах сітки визначаються наближені значення шуканої функції. Сукупність вузлових значень функції називається сітковою функцією.
Використовуються, як правило, регулярні сітки, крок яких постійний або змінюється за нескладним законом. Для одновимірних областей побудова сітки практично не відрізняється від аналогічної процедури в МКЕ (рис. 2.1).
Рисунок 2.1 – Побудова сітки в МКР
Відстань між сусідніми вузлами називається кроком сіткиhi = xi – xi+1при i = 1, 2, ..., n. Для регулярної сітки hi = const = 1(n -1), де n – кількість вузлів.
Для двовимірної області підхід до побудови сітки інший (рис. 2.2). Область зміни функції прямокутник. Осі х і у розбиваються на відрізки, які є кроками сітки за відповідними напрямками, через точки поділу проводять прямі паралельні осям. Сукупність точок перетину (вузлів) утворює сітку. Сусідні вузли– відстань між якими дорівнює кроку сітки за однією з осей.
Рисунок. 2.2 – Приклад розбиття на КЕ двовимірної області в МКР
Спосіб побудови не міняється і в тому випадку, якщо область довільної форми (рис. 2.2). Вузли сітки, що потрапили всередину області, – внутрішні. Точки перетину прямих сітки з межею області називаються граничними вузлами. Навіть для постійних кроків сітки по осях х і у в області є граничні вузли, віддалені від найближчих до них внутрішніх на відстань менше кроку за відповідним напрямом. Сітка для двовимірної області в загальному випадку є нерегулярною, причому особливості геометрії враховуються тільки в навколограничних ділянках (вузлах).
