Линии второго порядка на плоскости

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

, , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии

(координатными осями) называются вершинами эллипса.

Отрезки и называются осями эллипса, причем - большая ось, а - малая ось, так как .

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами эллипса .

Пусть точка - произвольная точка эллипса.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок ,

а малой осью отрезок .

Тогда , а директрисами являются прямые .

Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

.

Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку .

Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид: