Базис и координаты в линейном пространстве

Определение.Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система

(3.18)

элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , такие, что

(3.19)

2) система (3.18) линейно независима.

Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

Примеры

1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.

2. Так как , то ( ) – линейно независима. Кроме того, , а значит, система ( ) является и системой образующих и поэтому базисом.

3. . Таким образом, (1, i) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в § 2. Следовательно – это и базис.

4.

(3.20)

Тогда

следовательно, (3.20) – система образующих пространства . В § 2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства .

5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.

6. ,

(3.21)

Очевидно, поэтому (3.21) – система образующих пространства . Так как эта система ещё и линейно независима (см. § 2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.