Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

► Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два нейтральных элемента: и . Тогда

Итак, мы пришли к противоречию.◄

2º. В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

►Предположим, что некоторый элемент имеет два различных противоположных: и , т. е. . Получаем

–

опять пришли к противоречию.◄

3º.

► ◄

Замечание.При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

►

Таким образом, – противоположный к . Поэтому на основании 2-го следствия ◄

5º.

► ◄

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

►а) – утверждение верно.

б) Тогда имеем:

◄

§ 2. Линейная зависимость и независимость

элементов линейного пространства

Определение. Система элементов

(3.1)

линейного пространства над полем Р называется линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие что

. (3.2)

Система (3.1) называется линейно независимой, если равенство (3.2) выполняется только в том случае, когда

, (3.3)

т. е. когда из равенства (3.2) вытекает (3.3).

Примеры линейной зависимости и независимости

1. V = C, P = C; . Положим . Очевидно, , значит, 1 и i линейно зависимы над полем С.

2. V = C, P = R; . В этом случае в качестве и комплексные числа использовать нельзя. Составим равенство (3.2):

, . (3.4)

В равенстве (3.4) числа и – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа, которое равно 0, поэтому равны 0 и его действительная и мнимая части, т. е. . Таким образом, числа 1 и i над полем действительных чисел линейно независимы.

3. Так как

то существуют числа , среди которых есть отличные от нуля, такие что равенство (3.2) выполняется, и рассматриваемые функции линейно зависимы.

4. В следующих двух примерах приводятся два основных метода доказательства линейной независимости функций.

а) Метод частных значений. . Составляем равенство (3.2):

(3.5)

Заметим, что в правой части равенства (3.2) – нейтральный элемент линейного пространства, значит, в правой части (3.5) – нейтральный элемент пространства функций, т. е. функция, тождественно равная 0. Равенство (3.5) следует понимать как равенство функций, оно справедливо для всех . Например, получаем:

Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.

б) Используем производные. Составляем равенство (3.2):

(3.6)

Равенство (3.6) справедливо опять же для любого , т. е. функция

тождественно равна 0, значит, тождественно равна 0 и любая ее производная. Имеем: При получаем: = 0, следовательно, рассматриваемая система функций линейно независима.

5.

(3.7)

Составляем линейную комбинацию и приравниваем ее нейтральному элементу:

следовательно, система (3.7) линейно независима.

6.

(3.8)

Как обычно, составляем линейную комбинацию и приравниваем ее нейтральному элементу:

и поэтому, система (3.7) линейно независима.

Упражнение. Докажите, что для любого натурального система функций линейно независима.