Узловой метод

Матрицу контуров и сечений в узловом методе формируют следующим образом. Выбирают базовый узел эквивалентной схемы и каждый из остальных узлов соединяют с базовым фиктивной ветвью. Именно фиктивные ветви принимают в качестве ветвей дерева, а все реальные ветви оказываются в числе хорд. Поскольку токи фиктивных ветвей равны нулю, а вектор напряжений фиктивных ветвей есть вектор узловых потенциалов , то топологические уравнения принимают вид:

(2)

(3)

где и — векторы напряжений и токов реальных ветвей.

Компонентные уравнения алгебраизуются с помощью одной из формул численного интегрирования, линеаризуются с помощью разложения в ряд Тейлора с сохранением только линейных членов, и их представляют в виде:

(4)

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, рассчитанная в точке ; — вектор, зависящий от значений фазовых переменных на предшествующих шагах интегрирования и потому уже известный к моменту времени . Каждая ветвь (за исключением идеальных источников напряжения) имеет проводимость, которая занимает одну из диагональных клеток матрицы проводимостей.

Окончательно ММС получаем, подставляя (4) и затем (2) в (3):

или

(5)

где — матрица Якоби, — вектор правых частей. Отметим, что матрица имеет размер , матрица — , а матрица Якоби — .

Система (5) является системой линейных алгебраических уравнений, полученной в результате дискретизации независимой переменной, алгебраизации дифференциальных уравнений и линеаризации алгебраических уравнений. Алгебраизация приводит к необходимости пошагового вычислительного процесса интегрирования, линеаризация — к выполнению итерационного вычислительного процесса на каждом шаге интегрирования.

Рассмотрим, каким образом определяются проводимости ветвей.

Для резистивных ветвей проводимость — величина, обратная сопротивлению .

При использовании неявного метода Эйлера проводимость емкостной ветви получается из ее компонентного уравнения следующим образом.

На -м шаге интегрирования

проводимость по определению равна и при получаем

При этом в вектор правых частей входит элемент .

Проводимость индуктивной ветви можно найти аналогично:

и при

Аналогично определяют проводимости и при использовании других разностных формул численного интегрирования, общий вид которых

где зависит от шага интегрирования, — от значений вектора на предыдущих шагах.

Классический вариант узлового метода имеет ограничения на применение. Так, недопустимы идеальные (с бесконечной проводимостью) источники напряжения, зависимые источники, аргументами которых являются токи, а также индуктивности, поскольку в классическом варианте токи не входят в число базисных переменных. Устранить эти ограничения довольно просто — нужно расширить совокупность базисных координат, включив в нее токи-аргументы зависимых источников, а также токи ветвей индуктивных и источников напряжения. Полученный вариант метода называют модифицированным узловым методом.

Согласно модифицированному узловому методу, в дерево при построении матрицы контуров и сечений включают ветви источников напряжения и затем фиктивные ветви. В результате матрица принимает вид (табл. 1), где введены обозначения: — источники напряжения, зависящие от тока; — независимые источники напряжения; — источники тока, зависящие от тока; — индуктивные ветви; — подматрица контуров хорд группы и сечений фиктивных ветвей группы .

Те же обозначения будем использовать и для соответствующих векторов напряжений и токов. Назовем ветви, токи которых являются аргументами в выражениях для зависимых источников, т.е. входят в вектор , особыми ветвями. Остальные ветви (за исключением индуктивных) — неособые. Введем также обозначения: — вектор индуктивных токов; и — векторы токов и напряжений неособых ветвей; — диагональные матрицы проводимостей ветвей неособых, индуктивных, особых.

Таблица 1

Тип ветви	Фиктивные
Неособые
L

Уравнение закона токов Кирхгофа (3) для фиктивных ветвей имеет вид

Исключим вектор с помощью компонентного уравнения (4), а вектор с помощью очевидного выражения:

где — матрица передаточных коэффициентов источников тока. Используем также выражение (2), принимающее вид

Получаем систему из трех матричных уравнений с неизвестными векторами , и :

(6)

(7)

(8)

где обозначено . Эта система и является итоговой ММ в узловом модифицированном методе.