Представление топологических уравнений

Известен ряд методов формирования ММС на макроуровне. Получаемые с их помощью модели различаются ориентацией на те или иные численные методы решения и набором базисных переменных, т.е. фазовых переменных, остающихся в уравнениях итоговой ММС. Общим для всех методов является исходная совокупность компонентных и топологических уравнений, где — вектор фазовых переменных.

При записи топологических уравнений удобно использовать промежуточную графическую форму — представление модели в виде эквивалентной схемы, состоящей из двухполюсных элементов. Общность подхода при этом сохраняется, так как любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой из двухполюсников. В свою очередь эквивалентную схему можно рассматривать как направленный граф, дуги которого соответствуют ветвям схемы. Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальное направление при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь к отрицательным численным значениям потока).

Пример некоторой простой эквивалентной схемы и соответствующего ей графа приведен на рис. 1,a. Для конкретности и простоты изложения на рис. 1,a использованы условные обозначения, характерные для электрических эквивалентных схем, по той же причине далее в этом параграфе часто применяется электрическая терминология. Очевидно, что поясненные выше аналогии позволяют при необходимости легко перейти к обозначениям и терминам, привычным для механиков.

Для получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемы разделяют на подмножества хорд и ветвей дерева. Имеется в виду покрывающее дерево (фундаментальное дерево), т.е. подмножество из дуг, не образующее ни одного замкнутого контура, где — число вершин графа (узлов эквивалентной схемы). На рис. 1,б показан граф эквивалентной схемы рис. 1,a, толстыми линиями выделено одно из возможных покрывающих деревьев.

Рис. 1. Эквивалентная схема и соответствующий ей граф

Выбор дерева однозначно определяет вектора напряжений и токов хорд, напряжений и токов ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в виде

(1)

(2)

где — матрица контуров и сечений, — транспонированная -матрица.

В -матрице число строк соответствует числу хорд, число столбцов равно числу ветвей дерева. -матрица формируется следующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Если при подключении к дереву -й хорды -я ветвь входит в образовавшийся контур, то элемент матрицы равен при совпадении направлений ветви и подключенной хорды, при несовпадении направлений. В противном случае .

Для схемы на рис. 1,б -матрица представлена в виде табл. 1.

Таблица 1

Обозначение	Ветвь C1	Ветвь C2	Ветвь C3
Хорда R1	1
Хорда R2		1
Хорда R3			1
Хорда R4	1	+1	+1
Хорда J	+1

Отметим, что в случае электрических и гидравлических систем уравнения (1) представляют собой уравнения напряжений Кирхгофа для контуров, образованных поочередным подключением каждой из хорд в отдельности к дереву, а уравнения (2) — уравнения токов Кирхгофа для сечений ветвей дерева, т.е. для таких сечений, при которых пересекаются некоторые хорды и единственная ветвь дерева.