Семинар по теме «Векторная алгебра в пространстве»

1. Для векторов :

1.1. определите есть ли среди представленных нулевые и единичные вектора;

1.2. найдите длины векторов

1.3. найдите координаты и длины векторов и ;

1.4. вычислите , , , , , , ;

1.5. вычислите , , ;

1.6. вычислите направляющие косинусы (направление вектора) векторов , , , ;

1.7. вычислите углы между каждым из векторов с координатными векторами (определите вид углов: острый, тупой, прямой);

1.8. вычислите угол между векторами , , , , (определите вид углов: острый, тупой, прямой);

1.9. вычислите для каждого из векторов проекции на координатные оси;

1.10. вычислите проекции вектора на вектор: , , , , .

2. Вектор представьте в виде линейной комбинации векторов . Найдите значения .

3. Даны векторы . Перечислите и докажите какие из перечисленных векторов являются линейно независимыми, а какие линейно зависимыми. Какие вектора образуют базис?

4. Даны системы векторы 1-я: , 2-я: , 3-я: , 4-я: , 5-: , 6-я: где . Перечислите и докажите какие из перечисленных систем векторов являются линейно независимыми, а какие линейно зависимыми системами.

5. При каких значениях m вектора :

5.1. коллинеарны (параллельны);

5.2. ортогональны (перпендикулярны);

5.3. ;

5.4. .

6. Для параллелограмма, построенного на векторах :

найдите длины его сторон;

6.1. найдите его углы

6.2. найдите длины его диагоналей и угол между ними;

6.3. вычислите его периметр и площадь;

6.4. найдите его высоты и угол между ними.

7. Для треугольника, построенного на векторах :

7.1. найдите длины его сторон и его углы

7.2. вычислите его периметр и площадь;

7.3. найдите его высоту, медиану и биссектрису, выходящие из вершины О.

8. Для точек A .

8.1. найдите координаты векторов , ,

8.2. найдите длины векторов , ,

8.3. найдите косинусы углов между векторами и и , ,

8.4. определить вид треугольника ABC (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный),

8.5. вычислите площадь треугольника ABC,

8.6. найдите высоту треугольника ABC, проведенную из вершины С к стороне AB.

9. Для точек :

9.1. найдите координаты и длины векторов 2 и ;

9.2. вычислите , , , , ;

9.3. вычислите направляющие косинусы (направление вектора) векторов , , ;

9.4. вычислите угол между векторами определите вид углов: острый, тупой, прямой);

9.5. вычислите для каждого из векторов проекции на координатные оси;

9.6. вычислите проекции вектора на вектор: .

10. Даны три последовательные вершины параллелограмма

10.1. Найдите четвертую вершину параллелограмма;

10.2. найдите длины его сторон;

10.3. найдите его углы

10.4. найдите длины его диагоналей и угол между ними;

10.5. вычислите его периметр и площадь;

10.6. найдите его высоты и угол между ними.

11. Для треугольника с вершинами :

11.1. найдите длины его сторон и его углы

11.2. вычислите его периметр и площадь;

11.3. найдите его высоту, медиану и биссектрису, выходящие из вершины А.

12. Даны . Найдите

12.1. длины векторов и ,

12.2. ;

12.3. косинус угла между векторами и ,

12.4. площадь параллелограмма, построенного на векторах и ,

12.5. площадь треугольника, построенного на векторах и .

13. Найти , если .

14. Даны длины векторов . Определить .

15. В плоскости находятся два вектора . Известно, что и угол между ними . Найти длину вектора .

16. Даны два единичных вектора , угол между которыми 120 . Найдите:

16.1. длины векторов и ;

16.2. угол между векторами и ;

16.3. проекцию вектора на направление вектора .

17. На плоскости даны три последовательных единичных вектора , причем , . Найдите

17.1. длины векторов , ;

17.2. ;

17.3. угол между векторами ;

17.4. проекцию вектора на .

18. Для параллелограмма, построенного на векторах и , если – два единичных вектора, угол между которыми 120 :

18.1. найдите длины его сторон;

18.2. найдите его углы

18.3. найдите длины его диагоналей и угол между ними;

18.4. вычислите его периметр и площадь;

18.5. найдите его высоты и угол между ними.

19. Для параллелограмма, построенного на векторах , если и угол между ними равен 30 :

19.1. найдите длины его сторон;

19.2. найдите его углы

19.3. найдите длины его диагоналей и угол между ними;

19.4. вычислите его периметр и площадь;

19.5. найдите его высоты и угол между ними.

20. В плоскости находятся три вектора . Известно, что , , . Найти

20.1. длину вектор ;

20.2. ;

20.3. угол между векторами и ;

20.4. проекцию вектора на направление вектора .

21. В плоскости находятся три вектора . Известно, что , , Даны точки . Найти длину .

22. При каких значениях и векторы и : а) коллинеарны, б) ортогональны.

23. При каком значении векторы и перпендикулярны?

24. При каком значении векторы и перпендикулярны?

25. Даны три вектора . Разложить вектор по векторам .

26. Даны четыре вектора , , , . а) разложить вектор по векторам ; б) найти длину и направляющие вектора .

27. Найти проекцию вектора на вектор .

28. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

29. Определить скалярное произведение векторов и .

30. Найти векторное произведение векторов и .

31. Найти смешанное произведение векторов , , .

32. Показать, что векторы , , компланарны.

33. Определить угол между векторами и .

34. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

35. Определить длину векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями и .

36. Даны длины векторов . Определить .

37. Даны три вершины параллелограмма ABCD . Найти его четвертую вершину D.

38. Даны вершины треугольника ABC . Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

39. Даны точки . Найти угол между векторами и .

40. Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами .

41. Найти угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины .

42. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

43. Даны вершины треугольника . Показать, что этот треугольник равнобедренный.

44. Даны вершины четырехугольника . Показать, что его диагонали взаимоперпендикулярны.

45. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

46. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , если .

47. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами .

48. Найти объем тетраэдра, заданного вершинами .

49. Найти объем тетраэдра, заданного вершинами .