Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Векторы находят широкое применение в других науках (физике, астрономии), так как позволяют упростить рассмотрение некоторых вопросов, а также решение задач этих наук.
В учебной литературе существуют различные трактовки понятия «вектор»: неопределяемое понятие (В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, А.Д. Семушин) - это параллельный перенос (А.Н. Колмогоров); класс эквивалентных направленных отрезков (В.Г. Базылев) и др.
В школьном курсе геометрии векторы изучались не всегда. Например, в учебнике А.П. Киселева это понятие отсутствовало. Позже в учебнике А.Н. Колмогорова преобразование параллельного переноса отождествлялось с вектором. С математической и логической точки зрения определение вектора в этой книге не вызывало никаких сомнений, но подвергалось критике методистами. Данное понятие не усваивалось учащимися, определение заучивалось формально. Поэтому в ныне действующих учебниках геометрии вектор рассматривается как направленный отрезок. Хотя это определение с математической точки зрения не является вполне корректным (поскольку в математике обычно имеют дело со свободными векторами), но такой подход дает наглядное представление о векторе, осуществляется связь с физикой, в которой вектор тоже рассматривается как направленный отрезок.
В теме «Векторы на плоскости и в пространстве» изучаются следующие вопросы: понятие вектора, модуль вектора, сонаправленные векторы, равенство векторов, действия над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов).
В физике понятие вектора особенно широко используется в разделе «Механика».
Векторная запись имеет важные преимущества для теоретических вопросов, так как векторные уравнения не зависят от выбора системы отсчета и сохраняются при переходе от одной системы отсчета к другой: векторная запись всегда короче. Однако векторная запись вызывает трудности у учащихся, особенно при изучении разделов «Кинематика» и «Динамика». В большинстве ныне действующих школьных учебниках по физике изложение механики ведется на векторной основе с применением координатного метода, что позволяет в обобщенной форме записывать уравнения движения и решать задачи. При решении задач школьниками должны переходить от векторной записи уравнений через проекции величин на выбранную ось к скалярной записи. Некоторые авторы школьных учебников физики, например, Н.М. Шахмаев, выступают против векторного и координатного метода в изучении механики и считают, что наиболее простым, наглядным и достаточным для школьного курса физики является траекторный метод, так как в школе изучается простой материал, в основном прямолинейное движение в инерциальных системах отсчета. Важной особенностью механики является введение векторной записи формул перемещения, скорости, ускорения, сложение перемещения, скоростей при изучении относительности движения.
С понятия перемещения начинается изучение векторных величин в физике и действие над ними. Сложения векторов по правилу треугольника и параллелограмма, изученное в математике, наглядно иллюстрируем с помощью демонстрации движения тел в разных системах отсчета. Векторный характер скорости вытекает из того, что перемещение является вектором, при доказательстве применяем действие деления/умножения вектора на скаляр. Чтобы учащимся легче было применять знания из математики при изучении физики, учителю физики важно согласовывать свои требования, методы и стиль работы с преподавателями математики. Ученики должны знать, что векторные величины характеризуются абсолютным значением (модулем), направлением и геометрическим способом сложения - это самое важное в определении вектора, так как не все физические величины, имеющие модуль и направление, являются векторными. Например, сила тока имеет модуль и направление, но является скалярной величиной.
Большие сложности у учащихся возникают в определении знака проекции вектора перемещения, скорости и ускорения на оси координат. Определение знака проекций векторов на ось отрабатываем многократными упражнениями, сначала рассматривая одномерное, затем двумерное движение.
Учащиеся должны помнить, что определить знак проекции вектора на ось можно двумя способами: как разность координат проекций конца и начала вектора на ось, так и путем сравнения направления вектора с направлением оси координат (если совпадают по направлению, то проекция положительна, не совпадают - отрицательна).
Чтобы школьники хорошо ориентировались в различии векторных величин и их проекций, важно решать задачи не только на определение координаты тела в любой момент времени, но и графические задачи, которые могут проиллюстрировать функциональные зависимости между проекциями векторных физических величин. Учащиеся должны понимать, что построение графиков векторных величин невозможно, так как векторные величины характеризуются направлением, поэтому строим графики только для их проекций. Мы предлагаем такие задания: построить по графику скорости графики ускорения, перемещения, координаты, пути, располагая их один под другим и сопровождая свои рассуждения алгебраическими уравнениями, описывающими характер изменения проекций данных величин, а также рисунком, показывающим направление векторных величин по отношению к траектории движения и выбранной оси координат. Сопоставление графиков рассматриваемых величин способствует формированию основных понятий кинематики, позволяет анализировать характер зависимости между величинами, записывать уравнения движения. «Читая» графики, учащиеся убеждаются, что по характеру изменения проекции одной из величин можно определить все величины, характеризующие движение тела в данный момент времени.
Таким образом, осуществление единого подхода к введению понятия «вектор» в школьном курсе математики и физики позволяет добиться не только более глубокого усвоения данного понятия, но и овладеть методами построения некоторых вопросов физических теорий и решения сложных физических задач.
