Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Конспект лекций
по теме:
«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Волгодонск
Линейные (векторные) пространства.
Определение: Множеством называется совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:
1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L,
2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение
λх Є L,
которые удовлетворяют 8 аксиомам:
1) х + у = у + х, где х,у Є L;
2) (х + у)+z = x+(у + z), где х,у,z Є L;
3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L;
4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент
(–х) такой, что х + (-х)= Ө;
5) 1·х = х, где х Є L;
6) α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа;
7) α(х + у) = αх + αу, где х,у Є L, α- число;
8) (α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа.
Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами.
Примеры:
Множество действительных чисел является линейным пространством.
Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.
Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.
