Понятие базиса.

Определение. Три линейно независимых вектора , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для вектора найдутся такие вещественные числа l, m, n, что справедливо равенство: =l +m +n (1)

Определение.Два лежащих в плоскости p линейно независимых вектора и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости p вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в плоскости p вектора найдутся такие вещественные числа l и m, что справедливо равенство : =l +m (2)

Утверждения.

1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве;

2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.

В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве.

Пусть , и - произвольный базис в пространстве (т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов). Тогда равенство =l +m +n называется разложением вектора по базису , , , а числа l, m, n - координаты вектора относительно базиса , , .

Покажем единственность разложения вектора по базису , , .Допустим противное, что наряду с разложением (1), справедливо еще и другое разложение по этому же базису: =l¢ +m¢ +n¢ (3)

Вычитая из (1) из (3) получаем:

(l-l¢) +(m-m¢) +(n-n¢) =0

В силу линейной независимости базисных векторов , , последнее соотношение приводит к равенству: l-l¢=0, m-m¢=0, n-n¢=0 или l=l¢, m=m¢, n=n¢.

Теорема. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , )складываются. При умножении вектора на любое число a все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть =l₁ +m₁ +n₁ , =l₂ +m₂ +n₂ . Тогда в силу свойств линейных операций:

+ =(l₁+l₂) +(m₁+m₂) +(n₁+n₂) ,

a =(al₁) +(am₁) +(an₁)

В силу единственности разложения по базису ч.т.д.