Особенности построения структуры математических моделей технологических процессов

Формально технологический процесс можно представить как упорядоченное множество элементов структурной модели, каждый элемент которой выполняет определенную функцию (работу) и на­ходится в конструктивной, функциональной, информационной связи с другими элементами.

В зависимости от поставленной задачи структурная модель процесса строится с той или иной степенью подробности (детализации).

Построение модели функционирования системы сводится к построению матема­тических моделей процессов, которые, в конечном счете, выражаются дифференциальными, интегральными, алгебраическими и другими типами уравнений или какой-либо логической зависимостью.

Формоизменение заготовки происходит в процессе выполнения операций и переходов. Главная функция цели ТП может быть выражена в виде

Ф: S_o ® S_k = С_о,

где Ф – оператор формоизменения; S_o – исходное состояние заго­товки; S_k – конечное состояние готовой детали; С_о – критерий оп­тимизации.

Пользуясь таким подходом, ТП можно описать математически в виде функционала функции Ф формоизменения обрабатываемой детали S, т.е. F(Ф, S) = Со. Весь процесс формообразования может быть представлен как переход из состояния заготовки S_o в состояние детали S_k посредством выполнения совокупности некоторой последо­вательности операций. В этом случае можно показать

F(Ф, S) = Ф₁ ® Ф₂ ® Ф₃ ® … ® Ф_k;

S₁ ® S₂ ® S₃ ® … ® S_k.

Главным требованием, предъявляемым к математической модели любого объекта, и в частности к ТП, является адекватность отраже­ния модели реальным свойствам объекта.

Математическая модель выражается математически­ми зависимостями, представляющими собой определенные соотно­шения между отдельными параметрами, описывающими данный объект, а также множеством ограничений, накладываемых на эти параметры и выражаемых в виде уравнений и неравенств. Совпаде­ние математической модели процесса с фактическим процессом зависит от квалификации проектировщика и уровня его математи­ческой подготовки.

Математические модели по структуре делятся на две группы:

· без ограничений

· и с ограничениями, которые могут задаваться как линейными, так и нелинейными функциями.

По виду переменных различают математические модели

· с непре­рывными значениями переменных

· и дискретными значениями пере­менных.

В последней группе бывают дискретные целочисленные и нецелочисленные.

Методы оптимизации в зависимости от вида функции цели и огра­ничений подразделяются

· на классический метод дифференцирования,

· линейное,

· квадратичное,

· выпуклое

· и динамическое программиро­вание.

С точки зрения стратегии поиска оптимума выделяют четыре группы методов оптимизации:

· аналитические,

· рекурсивные,

· итераци­онные,

· стохастические.

Последняя группа имеет особое значение при выборе метода решения рассматриваемых задач.

Аналитические методы находят применение при реше­нии классических задач и задач с ограничениями в виде уравнений. Для решения задач без ограничений используют методы исследо­вания производной функции. Путем приравнивания производной нулю отыскиваются точки экстремума, а затем исследуются точки с помощью второй производной для отыскания максимума. Таким способом решаются простые технологические задачи, например, выполняется расчет режимов резания, выбор параметров режущего инструмента и др.

Рекурсивные методы относятся к методам, позволяю­щим определить одну переменную за одну расчетную операцию. Решение всей задачи осуществляется путем поочередного определе­ния переменных. Наиболее распространенным среди этих методов является динамическое программирование. Этот метод можно ис­пользовать при анализе многоэтапных процессов принятия решения, например, при оптимизации маршрутных ТП. Однако метод динами­ческого программирования эффективен при небольшом числе ограни­чений, вводимых в математическую модель, поэтому он пока не получил широкого распространения при решении технологических задач.

Итерационные методы объединяют наибольшую группу методов поиска оптимумов. К ним относятся способы расчета функ­ции цели в одной или нескольких вероятностных точках для опре­деления «лучшей» точки. Расчет выполняют до тех пор, пока не приблизятся к назначенному критерию на расстояние, меньшее некоторого заданного значения. Эти методы позволяют устанавливать только локальные оптимумы, однако они могут применяться в слу­чаях, когда оптимизацию проводят в различных исходных точках. Оптимумы, определяемые этим способом, представляют собой доста­точно точное решение относительно абсолютного оптимума.

Различают два больших класса итерационных методов:

· методы линейного программирования;

· нелинейного программирования.

Линейное программирование применяют для решения линейных задач, когда функции цели и ограничения являются линейными, а все переменные – непрерывными функциями. В основу этого программирования положено утверждение, что точка оптимума целевой функции находится в одной из вершин выпуклого многогран­ника определяющего область возможных решений. Наиболее извест­ным итерационным методом решения линейных задач является симплекс-метод.

Для методов нелинейного программирования характерно непо­средственное отыскание оптимума. Эти методы разделяются на две группы:

· методы, базирующиеся на расчетах градиентов,

· методы, при использовании которых этот расчет не требуется.

К первой группе относится метод наискорейшего спуска, а ко второй – метод Фибоначчи, основанный на отыскании оптимума вдоль произвольно выбранного направления. Все методы непосредственного поиска оптимума включают операции выбора направления поиска и длины шага. Отдельные методы имеют разные критерии выбора этих двух параметров. Большинство методов непосредственного отыскания оптимума не может быть применено к математическим моделям с ограничениями. В этом случае предварительно необходимо при­вести математическую модель с ограничениями к модели без ограни­чений. Для этой цели используются специальные математические методы: метод штрафных функций, метод множителей Лагранжа.

Стохастические методы оптимизации (методы случай­ного поиска решений) включают процедуры накопления и обработки информации, в которые сознательно вводится элемент случайности. Преимущества этих методов заключаются в их простоте, надежности, достаточной точности и легкости программирования. В результате методы случайного поиска стали одними из наиболее эффективных методов оптимизации.

Стохастические методы оптимизации применяются для различных задач технологического проектирования процессов изготовления деталей при наличии большого числа случайных факторов, которые не представляется возможным описать в традиционной математи­ческой форме.