. Общее уравнение прямой.
Покажем, что если на плоскости π задана произвольная прямая линия L и
фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy, то прямая L
определяется в этой системе уравнением первой степени.
Для этого достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением пер-
вой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной
системы на плоскости π, т.к. тогда она будет определяться уравнением первой
степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости
π.
Направим ось Ox вдоль прямой L, а ось Oy перпендикулярно к ней. Тогда
уравнением прямой будет уравнение первой степени y = 0. В самом деле, этому
уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой
L, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой
L.
Докажем теперь, что если на плоскости π фиксирована произвольная декар-
това прямоугольная система Oxy, то всякое уравнение первой степени с двумя
переменными x и y определяет относительно этой системы прямую линию.
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy и
задано уравнение первой степени
Ax + By + C = 0, (13.1)
в котором A, B и C - какие угодно постоянные, причем из постоянных A и
B хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (13.1) заведомо имеет хотя бы
одно решение x0, y0, т. е. существует хотя бы одна точка M0(x0, y0), координаты
которой удовлетворяют уравнению (13.1):
Ax0 + By0 + C = 0, (13.2)
Вычитая из уравнения (13.1) тождество (13.2), мы получим уравнение
A(x − x0) + B(y − y0) = 0, (13.3)
эквивалентное уравнению (13.1). Достаточно доказать, что уравнение (13.3)
определяет относительно системы Oxy некоторую прямую.
Мы докажем, что уравнение (13.3) (а стало быть, и (13.1)) определяет
прямую L, проходящую через точку M0(x0, y0) и перпендикулярную вектору
n = {A, B} (так как A и B одновременно не равны нулю, то вектор n ненуле-
вой).
Если точка M(x, y) лежит на указанной прямой L, то ее координаты удо-
влетворяют уравнению (13.3), т.к. в этом случае векторы n = {A, B} и M0M =
{x − x0, y − y0} ортогональны и их скалярное произведение
A(x − x0) + B(y − y0) = 0, (13.4)13.1. Различные виды уравнения прямой на плоскости 75
равно нулю. Если же точка M(x, y) не лежит на указанной прямой L, то ее
координаты не удовлетворяют уравнению (13.4). В этом случае векторы n и
M0M не ортогональны, и поэтому их скалярное произведение (13.4) не равно
нулю.
Определение. Уравнение Ax + By + C = 0 с произвольными коэффициентами A, B
и C такими, что A и B не равны нулю одновременно, называется
общим уравнением прямой.
Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (13.1), ортого-
нальна к вектору n = {A, B}.
Определение. Вектор n = {A, B} называется нормальным вектором прямой Ax +
By + C = 0.
Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 называется полным, если все
его коэффициенты A, B и C отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных
коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.
13.1.2. Неполные уравнения прямой.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1). C = 0. Уравнение Ax + By = 0 определяет прямую, проходящую черезначало координат (рис. 21). Координаты начала удовлетворяют этому
уравнению.
xyAx + By = 0n = {A, B}O
Рис. 21. Неполное уравнение прямой: C = 0.
2). B = 0. Уравнение Ax + C = 0 определяет прямую, параллельную оси
Oy (рис. 22). Нормальный вектор этой прямой n = {A, 0} ортогонален
оси Oy).
3). A = 0. Уравнение By + C = 0 определяет прямую, параллельную оси
Ox (рис. 23). Нормальный вектор этой прямой n = {0, B} ортогонален
оси Ox).
4). B = 0 и C = 0, уравнение Ax = 0 определяет ось Oy (эта прямая
параллельна оси Oy и проходит через начало координат).
5). A = 0 и C = 0, уравнение By = 0 определяет ось Ox (эта прямая
параллельна оси Ox и проходит через начало координат) .
13.1.3. Уравнение прямой в отрезках.
Рассмотрим полное уравнение прямой Ax+By+C = 0. Пусть все коэффициенты
отличны от нуля. В этом случае мы можем переписать уравнение Ax+By+C = 076Оглавление
xyAx + C = 0n = {A, 0}O x = −C/A
Рис. 22. Неполное уравнение прямой: B = 0.
xyBy + C = 0n = {0, B}Oy = −C/B
Рис. 23. Неполное уравнение прямой: A = 0.
в виде
x−C/A+y−C/B= 1 (13.5)
а затем положить a = −C/A и b = −C/B. В результате получим, что общее
уравнение прямой может быть приведено к виду
xa+yb= 1. (13.6)
Определение. Уравнение
xa+yb= 1 называется уравнением прямой в отрезках.
В уравнении "в отрезках"числа a и b имеют простой геометрический смысл
(рис. 24): они равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox
и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).
xyO abxa+yb= 1
Рис. 24. Уравнение прямой в отрезках.13.1. Различные виды уравнения прямой наплоскости 77
Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения прямой опре-
деляемой уравнением
xa+yb= 1, с осями координат. Например, точка пересе-
чения с осью Ox определяется из совместного рассмотрения уравнения прямой
xa+yb= 1 с уравнением y = 0 оси Ox. Мы получим координаты точки пе-
ресечения x = a, y = 0. Аналогично устанавливается, что координаты точки
пересечения прямой xa+yb= 1 осью Oy имеют вид x = 0, y = b. Уравнение пря-
мой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на рисунке.
13.1.4. Каноническое уравнение прямой.
Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем на-
зывать направляющим вектором этой прямой.
Рассмотрим следующую задачу: найти уравнение прямой, проходящей через
данную точку M1(x1, y1) и имеющей заданный направляющий вектор q = {l, m}.
Очевидно, точка M(x, y) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда
векторы
−−−→
M1M = {x − x1, y − y1} и q = {l, m} коллинеарны, т е тогда и только
тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны
x − x1l=y − y1m(13.7)
Уравнение (13.7) и есть искомое уравнение прямой.
Определение. Уравнение
x − x1l=y − y1mназывают каноническим уравнениемпрямой.
Заметим, что в каноническом уравнении (13.7) один из знаменателей l или
m может оказаться равным нулю (оба числа l и m равняться нулю не могут,
т.к. вектор q = {l, m} - ненулевой). Так как всякую пропорцию a/b = c/d мы
понимаем как равенство ad = bc, обращение в нуль одного из знаменателей в
(13.7) означает обращение в нуль соответствующего числителя. Если, например,
l = 0, то, поскольку m = 0 6 , из равенства l(y − y1) = m(x − x1) заключаем, что
x − x1 = 0.
В качестве примера запишем уравнение прямой, проходящей через две дан-
ные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) (будем считать, что эти точки считаются
отличными друг от друга).
Так как за направляющий вектор такой прямой можно взять вектор q =
−−−−→
M1M2 = {x2 − x1, y2 − y1} и прямая проходит через точку M1(x1, y1), то из
канонического уравнения получим уравнение искомой прямой в виде
x − x1x2 − x1=y − y1y2 – y1
