2.Арифметическое n-мерное пространство R n. Геометрический смысл пространств R2 и R3
1. Основные понятия
Определение. Множеством называется совокупность объектов любой природы, которые объединены в одну группу (систему, совокупность) по тем или иным признакам (множество городов, множество положительных чисел, множество студентов, множество действительных чисел и т.д.). Принадлежность элемента х множеству Х обозначается: х є Х. Способы записи множеств: А={х1, х2,…, хn}, А= {1, 2, 3, … ,10}, А= {а є R | |a| ≥1}, Х = {х: |x-a|≤b}. Определение. Множество U образует линейное пространство, если для любых двух его элементов є U и є U определены операция сложения: и операция умножения любого элемента на число: , удовлетворяющие свойствам: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , где , – нулевой элемент , а коэффициенты α, β, λ, 1 – действительные числа. Определение. Вектором размерности n называется упорядоченный набор из n действительных чисел. Будем записывать вектор в виде , где - координаты вектора. Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Векторы равны, если они одной размерно-сти и имеют равные соответствующие координаты: (2,3,5) = (2,3,5). Нуль-вектор = (0,0,…,0) не следует путать с числом нуль. Определение. Множество всех векторов размерности n называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается Rn. Экономические величины являются многофакторными (многомерными), и n-мерные векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров различных сортов можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .
2. Действия над n-мерными векторами
Пусть даны векторы и . Определение. Суммой векторов и называется вектор , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5). Определение. Произведением вектора на число называется вектор т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rn является частным случаем введенного ранее линейного пространства. Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов: Пример: Пусть и . Тогда . Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1., причем , только при 2., 3., 4.. Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. . Пример. Пусть Тогда ортогональны. Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством. Примеры: 1. Множество трехмерных векторов R3. 2. Множество двумерных векторов R2. 3. Множество R1 = R – множество действительных чисел. 3. Линейная зависимость и независимость векторов. Пусть – векторы из некоторого линейного пространства. Определение: Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор. Примеры: 1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3); 2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0). Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).
на число 
( 
) и противоположную сторону если 
( 
) .
.