Рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q Edl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q dφ,где dφ - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: Edl = - dφ или в декартовой системе координат
Ex dx + Ey dy + Ez dz = - dφ,
где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
откуда
.
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала φ, т. е.
E= - grad φ
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность Eнаправлена в сторону уменьшения потенциала.
