Лінійні оператори і матриці лінійних операторів

Практичне заняття № 2

Тема:Лінійні оператори в векторних просторах

Мета заняття:Засвоїти поняття лінійного оператора в векторному просторі над полем, методи виконання дій з лінійними операторами і їх матрицями, побудовихарактеристичного та мінімального многочленів матриці, мінімального многочлена вектора відносно матриці, інваріантного та циклічного підпросторів лінійного оператора.

Короткі теоретичні відомості

Лінійні оператори і матриці лінійних операторів

Нехай – векторний простір над полем

Означення. Лінійним оператором у векторному просторі називаєтьсявідображення таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1) ;

2) .

Найпростіші властивості лінійного оператора:

1) Образом нуль-вектора є нуль-вектор: .

2) Образом вектора, протилежного довільному вектору є вектор, протилежний образу вектора :

3) Образом лінійної комбінації довільних векторів простору є лінійна комбінація (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів:

Теорема. Нехай – лінійний оператор у векторному просторі , – базис в . Тоді лінійний оператор однозначно визначається заданням образів векторів базису .

Нехай у векторному просторі заданий деякий базис .

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисі називається матриця

,

елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторів за базисом , тобто

;

;

………………………………………..

.

З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів , , в базисі .

У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного оператора на координатний стовпчик вектора :

.

Ясно, що матриця оператора залежить від вибору базису простору .

2. Дії з лінійними операторамизводяться до відповідних дій з матрицями лінійних операторів.