Решение.

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора

Решение. Используем формулы (14.9):

Пример 4. Найти прямоугольные декартовы координаты вектора если

Решение.Пусть тогда

Итак,

Пример 5. Даны векторы и Вычислить:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7)

Решение. 1) Используем формулу (14.6):

2) Сначала вычислим координаты векторов и используя формулы (14.4) и (14.5):

Тогда согласно формуле (14.6) получим:

3) Найдем координаты суммы векторов:

Далее, используя формулу скалярного квадрата и формулу (14.7) длины вектора, получим:

4) Вычислим координаты вектора используя формулы (14.4) и (14.5):

Тогда по формуле (14.7) получим:

5) По формуле (14.1) получим:

6) Используя формулы (14.1), (14.4)–(14.7), получим:

7) Вектор – это единичный вектор направления вектора :

Пример 6. Вектор перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию где Найти координаты вектора

Решение. Пусть По условию что влечет т. е. Аналогично из условия получаем Наконец, из имеем

Получили систему уравнений

Решая которую, придем к ответу:

т. е.

Пример 7. Даны векторы и Найти косинус угла между векторами и для которых

Решение. Выразим векторы и через и Из равенства получим Тогда, используя получим:

т. е.

Далее находим координаты вектора

Поскольку то

Используя формулу (14.8), находим:

Пример 8. Луч образует с векторами и углы соответственно и а с вектором – тупой угол. Найти этот угол.

Решение. Рассмотрим единичный вектор сонаправленный с заданным лучом. Он определяется направляющими косинусами, т. е. . Так как то имеем или Из последнего равенства имеем По условию γ – тупой угол. Значит, т. е.

Таким образом, искомый угол равен

Пример 9. Показать, что векторы и образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.1-й способ. В трехмерном пространстве базис образуют любые три линейно-независимых вектора с ненулевой длиной. Определим, будут ли три заданные вектора линейно-независимыми. Для этого составим их линейную комбинацию с коэффициентами и приравняем к т. е. рассмотрим:

Если окажется, что при этом то система этих векторов линейно-независима, а значит, они образуют базис.

Векторному равенству в координатной форме соответствует следующее условие:

Из определения равенства двух векторов имеем систему

решая которую, получим

Найдем в этом базисе координаты вектора

Так как то в координатной форме

что приводит к системе линейных уравнений

Решая последнюю систему каким-либо методом, получим Это значит что в базисе вектор имеет координаты:

2-й способ. Векторы образуют базис пространства, если они некомпланарны. Это равносильно тому, что их смешанное произведение не равно 0, т. е. (в координатной форме)

Вычисление последнего определителя показывает, что он не нулевой. Таким образом, векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе можно, как в 1-м способе.

Пример 10. Векторы и не коллинеарны. Найти, при каком a векторы и будут коллинеарны.

Решение. Если то существует такое число что т. е.

откуда

Векторы и не коллинеарны, поэтому

Решая эту систему, находим и или Таким образом, при Как легко видеть, векторы противоположны, т. е.