Другой широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в получении параметров этой функции такими, чтобы функция приближала облако исходных точек (заданных векторамиVX и VY) с наименьшей среднеквадратичной погрешностью.
Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид
у(х) = а + b*х
и описывает отрезок прямой. К линейной регрессии можно свести многие виды нелинейной регрессии при двупараметрических зависимостяху(х).
Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций:
corr(VX, VY) — возвращает скаляр — коэффициент корреляции Пирсона;
intercrpt(VX, VY) — возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали);
slope(VX, VY) — возвращает значение параметра b (наклона линии регрессии).
Функция для линейной регрессии общего вида.
В MathCAD реализована возможность выполнения линейной регрессии общего вида. При ней заданная совокупность точек приближается функцией вида:
Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x),..., Fn(x), причем сами эти функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.
Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(VX,VY,F). Эта функция возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего видаК, при котором среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, если их координаты хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x),..., Fn(x), записанные в символьном виде.
Расположение координат точек исходного массива может быть любым, но векторVX должен содержать координаты, упорядоченные в порядке их возрастания, а векторVY — ординаты, соответствующие абсциссам в вектореVX.
Функции для одномерной и многомерной полиномиальной регрессии.
Введена в новую версию MathCAD и функция для обеспечения полиномиальной регрессии при произвольной степени полинома регрессии:
regress(VX,VY, n)
Она возвращает векторVS, запрашиваемый функцией interp(VS,VX,VY,x), содержащий коэффициенты многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает “облако” точек с координатами, хранящимися в векторахVX и VY.
Для вычисления коэффициентов полинома регрессии используется функция submatrix.
На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше четвертой — шестой, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают.
Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек, т. е. глобально. Иногда полезна другая функция полиномиальной регрессии, дающая локальные приближения отрезками полиномов второй степени,— loess(VX, VY, span). Эта функция возвращает используемый функцией interp(VS,VX,VY,,r) вектор VS, дающий наилучшее приближение данных (с координатами точек в векторахVX и VY) отрезками полиномов второй степени. Аргументspan>0 указывает размер локальной области приближаемых данных (рекомендуемое начальное значение — 0,75).
Чем больше span, тем сильнее сказывается сглаживание данных. При больших span< эта функция приближается к regress(VX,VY,2).
MathCAD позволяет выполнять также МНОГОМЕРНУЮ регрессию, самый типичный случай которой — приближение трехмерных поверхностей. Их можно характеризовать массивом значений высот z, соответствующих двумерному массивуМху координат точек (х, у) на горизонтальной плоскости.
Новых функций для этого не задано. Используются уже описанные функции в несколько иной форме:
Regress (Mxy, Vz, n) — возвращает вектор, запрашиваемый функцией interp (VS,Mxy,Vz,V) для вычисления многочлена п-йстепени, который наилучшим образом приближает точки множестваМху и Vz. Мху — матрица mx2, содержащая координаты x и y.
Vz — m-мерный вектор, содержащий z-координат, соответствующих m точкам, указанным в Mxy;
loes(Mxy,Vz,span) — аналогичнаloes(VX,VY, span), но в многомерном случае;
interp (VS,Mxy,Vz,V) — возвращает значение z по заданным векторамVS(создается функциямиregress или loess) и Мху, Vz и V (вектор координатх и у заданной точки, для которой находится z).
Функция для нелинейной регрессии общего вида.
Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К параметров произвольной функции F(x,K1,K2,...,Kn),при котором обеспечивается минимальная среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функцияgenfit(VX, VY, VS,F). Эта функция возвращает вектор Кпараметров функции F, дающий минимальную среднеквадратичную погрешность приближения функциейF(x,Kl,K2,...,Kn) исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, содержащими уравнение исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор VS должен содержать начальные значения элементов вектораК, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
