Необходимые условия существования экстремума

Теорема.

] 1) ( в точке и ее окрестности ), то есть ,

2) ,

3) .

[

Доказательство. Фиксируем , то есть ] для , рассмотрим - функцию одной переменной . Точка - точка экстремума для . По теореме Ферма (так как .

Аналогично доказывается, что (фиксируя ).

Следствие. Если 1) , 2) , то . Из условий 1) – 3) теоремы и → и в силу (3) они равны нулю. [ .

Замечание: аналогичные необходимые условия имеют место и для

Пример 1. Исследовать на экстремум .

Решение.

в точке . В

Таким образом, точка .

Пример 2. Исследовать на экстремум .

- стационарная точка → .

- приращение меняет знак в окрестности . Следовательно, вообще не имеет экстремальных точек. Это подчеркивает, что условия необходимые, но недостаточные.

def 4. Пусть . Если

то точка - стационарная точка функции (или точка ).

Достаточные условия существования экстремума в точке функции

Введем обозначения:

и пусть

Теорема.

Пусть 1) и (имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно).

2) точка - стационарная точка( )

Тогда а) ] , то ,

причем 1) при – точка ,

2) при - точка

Замечание: , ибо ] , [ .

] , то экстремума в точке нет и .

] , экстремум в точке может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка:

где

Так как точка - стационарная точка, то

и (2) примет вид:

Показывается, что слагаемое не влияет на знак и, следовательно,

где

Исследуем .

Имеем:

а) Пусть в (5) . [ из (5) следует, что

Из (4)и (6)следует

Равенство (7) позволяет утверждать:

1) , [ в и ,

2) , [ в и .

б) Пусть в (5) .

Выберем 1) , [

2) ] , а . [

Из (8), (9) с учетом (4) следует вывод: s w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>M</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>0</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> меняет знак в . Следовательно, в экстремума нет.

в) Пусть в (5) . Любопытно, что в этом случае экстремум может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим этот случай на примерах (что достаточно для доказательства).

1) ] . Имеем:

,

ибо . Далее

С другой стороны,

и .

2) ] .

Далее .

Но меняет знак в . Это означает, что точка не является точкой экстремума функции .

Итак, из рассмотренных примеров следует, что в случае экстремум может быть, а может и не быть.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области

Пусть и

Укажем правило нахождения и .

1. Находим стационарные точки функции в области , то есть решаем систему:

2. Вычисляем значение функции в этих точках.

3. Выбираем среди этих значений наибольшее и наименьшее.

Важно: исследовать характер стационарных точек не обязательно.

4. Провести исследование на экстремум на границе области , то есть на линии и найти .

5. Из пунктов 3 и 4 находим (путем сравнения) .

Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )

Пусть точка – точка экстремума ( , причем координаты точки удовлетворяет при этом и уравнению (дополнительному условию) связи:

def : точка - точка экстремума при условии (1), или:

точка - точка условного экстремума:

а) Необходимое условие существования условного экстремума.

Теорема 1. ] 1)

( непрерывные частные производные в ).

2) (точка не является особой точкой для ).

3) точка - точка условного экстремума, то есть (3).

[ для функции

def. 1. Функция в (4) –функция Лагранжа.

2. в (4) – множитель Лагранжа.

Замечание: из (5) следует, что точка – стационарная точка функции Лагранжа .

б) Достаточные условия существования условного экстремума.

Теорема 2. ] 1) выполнены условия (5), то есть - стационарная точка функции из (4) (или точка - стационарная точка функции (при ).

2)

[ а) ] , то точка - точка условного __________ минимума для относительно условия (1):

б) ] , то точка - точка условного __________ максимума для относительно условия (1):

Пример1. Исследовать на условный экстремум

если

Решение:

1) Составим функцию Лагранжа :

2) Найдем

3) Решим систему:

Имеем: (9) ~

Таким образом, получим стационарную точку для функции ~ точка при – точка, в которой может быть условный экстремум функции (6) при условии (7).

4. Найдем при :

Из (8):

5. Вычислим

6. Из (7) для

, то есть

7. (12) подставим в (11): .

Вывод: точка при - точка условного максимума для (6) и (7) .

Парабола – сечение с плоскостью

Пример 2. Исследовать на экстремум среди тех точек , которые лежат на прямой

Решение. 1. Составим функцию Лагранжа

2.

3. Решаем систему

4. Из дополнительного условия при →

5.

6.

7.