Пусть задан всюду определенный предикат 
.
Определение. Говорят, что функция 
получена из предиката 
в результате операции ограниченной минимизации, т.е. 
, если выполняется следующие равенства.
Действительно эта равенства имеет место.
1) Пусть 
, тогда 
и для всех y<y0 
.
Следовательно
.
2) Пусть, > 
. Тогда по определению операции ограниченной минимизации для всех y, где 
. Следовательно, в правая часть формуле (1), равна z+1 единиц.
Таким образом, из пунктов 1–2 следует, что формула (34) удовлетворяет заданию функции с помощью операции ограниченной минимизации. Так как операции конечного произведения и конечного суммирования сохраняют свойства примитивной рекурсивности функцией, то получаем, что функция 
является ПРФ относительно 
.
Следствие.Операция ограниченной минимизации сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций.
