Пусть задана функция 
.
Определение. Говорят, что функция σ 
получена из функции с применением операции конечного суммирования, если для любого набора переменных 
выполняется следующее равенство:
(1)
Определение. Говорят, что функция δ получена из функции с применением операции конечного произведения, если для любого набора переменных выполняется следующее равенство:
(2)
Теорема 1. Операции конечного суммирования и конечного произведения сохраняют свойство примитивной рекурсивности функции.
Доказательство. Приведем доказательство относительно операции конечного суммирования (аналогично доказывается относительно операции конечного произведения).
Пусть σ 
, тогда по определению операции примитивной рекурсии получим:
Таким образом, функция σ получается по операцией примитивной рекурсии из функции
и 
, т.е. σ=R( 
Действительно
Очевидно, что
Из задания функций и h следует, что они являются ПРФ соответственно относительно совокупности{g}. Функция σ-ПРФ относительно функций и h. Следовательно, операция конечнего суммирования сохраняет свойство примитивной рекурсивности функции. Ч.т.д.
