Высокочастотный, полосовой и режекторный фильтры создаются, начиная с низкочастотного фильтра, и затем преобразуются в желаемые характеристики (отклики). По этой причине в большинстве обсуждаемых схем фильтров рассматривается низкочастотный фильтр. Есть два способа преобразования низкочастотного фильтра в высокочастотный фильтр: спектральная инверсия (spectral inversion) и спектральное реверсирование (spectral reversal). Оба они широко используются.
Пример спектральной инверсии показан на рисунке 14-5. Рисунок (а) показывает ядро низкочастотного фильтра, называемого «оконный гармонический» (windowed-sinc – тема главы 16). Ядро этого фильтра имеет длину в 51 точку, хотя многие отсчеты так малы, что сливаются с нулем на графике. Соответствующий частотный отклик показан в (b), он найден добавлением 13 нулей и использованием БПФ. Две вещи необходимо сделать, что бы изменить ядро низкочастотного фильтра в ядро высокочастотного фильтра. Первое, изменить знак каждого отсчета в ядре фильтра. Второе, добавить один отсчет в центре симметрии. Это преобразует ядро низкочастотного фильтра (с) в ядро высокочастотного фильтра (d). Спектральная инверсия перебрасывает частотную характеристику сверху вниз, изменяя полосу пропускания в полосу блокировки и полосу блокировки в полосу пропускания. Другими словами, она изменяет низкочастотный фильтр в высокочастотный фильтр, высокочастотный фильтр в низкочастотный фильтр, полосовой фильтр в режекторный фильтр, режекторный фильтр в полосовой фильтр.
РИСУНОК 14-5
Пример спектральной инверсии. Ядро низкочастотного фильтра (а) имеет частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) получено изменением знака каждого отсчета в (а), и добавлением одного отсчета в центре симметрии. Эти действия во временной области приводят к инверсии частотного спектра (переброска сверху в низ), как показано в высокочастотной характеристике фильтра (d).
Рисунок 14-6 показывает, почему эти два шага модификации временной области приводят к инверсии частотного спектра. В (а) входной сигнал x[n] поступает на две параллельные системы. Одна из систем низкочастотный фильтр с импульсным откликом h[n]. Другая ничего не делает с сигналом, и поэтому ее импульсный отклик просто дельта функция d[n]. Общий выход y[n] равен пропускающей все системе минус выход низкочастотной системы. Поскольку низкочастотные компоненты будут вычтены из исходного сигнала, только высокочастотные компоненты будут на выходе. Так создается высокочастотный фильтр.
РИСУНОК 14-6
Блок схема спектральной инверсии. В (а) входной сигнал поступает на две параллельные системы с импульсными откликами h[n] и d[n]. Как показано в (b) комбинация систем имеет импульсный отклик d[n] - h[n]. Это означает, что частотный отклик комбинации систем есть инверсия частотного отклика системы с h[n].
Этот способ может быть выполнен двумя шагами в компьютерной программе: пропустить сигнал через низкочастотный фильтр, а затем вычесть полученный сигнал из исходного сигнала. Однако целиком операция может быть выполнена в одном каскаде комбинацией двух фильтров. Как описывалось в главе 7, параллельные системы со сложением выходов могут быть скомбинированы в один каскад сложением их импульсных откликов. Как показано в (b), ядро высокочастотного фильтра равно d[n] - h[n]. То есть, меняется знак каждого отсчета и добавляется один отсчет в центр симметрии.
Для того, что бы этот способ работал, фаза сигнала на выходе низкочастотного фильтра должна быть точно такой же, как и фаза сигнала на выходе все пропускающей системы. Иначе вычитание не сможет произойти. Отсюда возникают два ограничения на этот метод: (1) исходное ядро фильтра должно иметь лево-правую симметрию (т.е. нулевую линейную фазу); и (2) импульс должен быть добавлен в центр симметрии.
РИСУНОК 14-7
Пример спектрального реверсирования. Ядро низкочастотного фильтра (а) имеет частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) формируется изменение знака каждого следующего отсчета в (а). Это действие во временной области приводит в частотной области к перебросу слева на право, что создает частотный отклик высокочастотного фильтра.
Второй метод преобразования низкочастотного фильтра в высокочастотный фильтр, спектральная инверсия, иллюстрируется рисунком 14-7. Так же как и раньше, ядру низкочастотного фильтра (а) соответствует частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) формируется изменением знака каждого следующего отсчета в (а). Как показано в (d), это перебрасывает частотную область слева направо, 0 становится 0,5 и 0,5 становится 0. Частота отсечки низкочастотного фильтра в этом примере равная 0,15 преобразуется в частоту отсечки высокочастотного фильтра равной 0,35.
Изменение знак каждого соседнего отсчета эквивалентно перемножению ядра фильтра на синусоиду с частотой 0,5. Как обсуждалось в главе 10, это вызывает сдвиг частотной области на 0,5. Посмотрите на (b) и представьте отрицательные частоты между -0,5 и 0, которые зеркально отображают частоты между 0 и 0,5. Частоты, которые появились в (d) есть отрицательные частоты из (b), сдвинутые на 0,5.
РИСУНОК 14-8
Создание полосового фильтра. Как показано в (а), полосовой фильтр может быть создан последовательным включением низкочастотного и высокочастотного фильтров. Возможно однокаскадное выполнение, при свертке ядер фильтров.
Последнее, рисунки 14-8 и 14-9 показывают, как могут быть скомбинированы ядра низкочастотного и высокочастотного фильтров для получения полосовых и режекторных фильтров. Короче, сложение ядер фильтров производит режекторный фильтр, свертка ядер производит полосовой фильтр. Имеются основные способы последовательной и параллельной комбинации систем, как обсуждалось в главе 7. Многократные комбинации так же могут быть использованы. Например, полосовой фильтр может быть создан сложением двух ядер фильтров для формирования режекторного фильтра, и, затем, использованием спектральной инверсии или спектрального реверсирования. Как описывалось выше. Все эти способы очень хорошо работают с незначительными сюрпризами.
