Пример инверсного ДПФ. Рисунок (а) показывает пример сигнала временной области, импульс амплитудой 32. Рисунок (b) показывает реальную часть частотной области этого сигнала, постоянную величину равную 32. Мнимая часть не показана, так как она вся состоит из нулей. Рисунок (с) показывает амплитуду косинусных волн, необходимых для реконструкции (а) по формуле 8-2. Величина (с) находится из (b) по формуле 8-3.
Рисунок 8-6 иллюстрирует инверсное ДПФ, а так же разницу между частотной областью и амплитудами, необходимыми для синтеза. Рисунок 8-6а показывает сигнал, который синтезируется, - импульс с амплитудой равной 32 в нулевом отсчете. Рисунок 8-6b показывает частотную область, соответствующую этому сигналу. Мнимая часть (не показана) состоит из одних нулей. Как обсуждается в следующей главе, это важная пара ДПФ: импульсу во временной области соответствует постоянная величина в частотной области. Теперь важный момент: (b) есть ДПФ от (а) и (а) есть инверсное ДПФ от (b).
Формулы 8-3 используются для преобразования сигнала частотной области, (b), в амплитуды косинусных волн, (с). Как показано, амплитуды всех косинусных волн имеет амплитуду равную двум, за исключением отсчетов 0 и 16, имеющих единичную величину амплитуды. Амплитуды синусных волн не показаны в этом примере, потому что они все имеют нулевую амплитуду, и поэтому роли не играют. Затем используется формула синтеза, 8-2, для преобразования амплитуды косинусных волн, (b), в сигнал временной области, (а).
Здесь описывается, чем частотная область отличается от синусоидальных амплитуд, но не объясняется почему. Отличие возникает из-за того, что частотная область определена как спектральная плотность. Рисунок 8-7 поясняет это. На рисунке показан пример реальной части частотной области для 32 точечного сигнала. Как вы и ожидали, отсчеты идут от 0 до 16, представляя 17 частот равномерно расположенных между 0 и ½ частоты дискретизации. Спектральная плотность описывает как много сигнала (амплитуд) представлено на единицу полосы частот. Для преобразования синусоидальных амплитуд в спектральную плотность разделите каждую амплитуду на ширину полосы частот, приходящуюся на каждую амплитуду. Это вызывает следующий вопрос: Как мы определим ширину полосы для каждой дискретной частоты в частотной области?
Как показано на рисунке, ширина полосы может быть определена путем нанесения разделяющих линий между отсчетами. Например, отсчет номер 5 оказывается в полосе между 4,5 и 5,5; отсчет номер 6 оказывается в полосе между 5,5 и 6,5 и т.д. Представляя эту полосу как часть общей полосы (т.е. N/2), мы получим ширину полосы для каждого отсчета равной 2/N. Исключение составят отсчеты на концах, каждый будет иметь половинку от этой полосы, 1/N. Это согласуется с коэффициентом масштабирования, 2/N, меду синусоидальными амплитудами и частотной областью, и с добавочным коэффициентом, два, необходимым для первого и последнего отсчета.
Почему необходим знак минус перед мнимой частью? Только лишь для согласования реального ДПФ с его старшим братом, комплексным ДПФ. В главе 29 мы покажем, что это необходимо для работы комплексного ДПФ с математической точки зрения. Когда вопрос касается только реального ДПФ, многие авторы не учитывают этот минус. Случается, многие авторы даже не включают коэффициент масштабирования 2/N. Будьте готовы встретить эти ошибки в некоторых статьях. Они отмечены здесь по двум важным причинам. Большинство эффективных способов вычисления ДПФ заключается в использовании алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые представлены в главе 12. БПФ создает частотную область согласно формулам 8-2 и 8-3. Если вы упустили этот фактор нормализации, ваша программа, содержащая БПФ, не будет работать так, как ожидалось.
РИСУНОК 8-7
Ширина отсчетов частотной области. Каждый отсчет в частотной области может рассматриваться как находящийся в полосе частот шириной 2/N по отношению к общей полосе частот. Исключение составляют первый и последний отсчеты, которые имеют половинную ширину, 1/N.
