Во многих областях математики и прикладных наук большое значение имеют средства для вычисления собственных значений (собственных чисел, характеристических чисел, решений векового уравнения) матриц, принадлежащих им векторов и сингулярных чисел. В новой версии MATLAB собственные вектора нормализуются, иначе, чем в предыдущих. Основной критерий: либо V'V=I, либо V'BV=I, где V — собственный вектор, I — единичная матрица. Поэтому результаты вычислений в новой версии, как правило, отличаются. Ниже дан список средств решения векового уравнения, реализованных в системе MATLAB.
Несимметрические матрицы могут быть плохо обусловлены при вычислении их собственных значений. Малые изменения элементов матрицы, такие как ошибки округления, могут вызвать большие изменения в собственных значениях. Масштабирование — это попытка перевести каждую плохую обусловленность собственных векторов матрицы в диагональное масштабирование. Однако масштабирование обычно не может преобразовать несимметрическую матрицу в симметрическую, а только пытается сделать (векторную) норму каждой строки равной норме соответствующего столбца. Масштабирование значительно повышает стабильность собственных значений.
· [D.B] = balance(A) — возвращает диагональную матрицу D, элементы которой являются степенями основания 2, и масштабированную матрицу В, такую, что B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;
· В = balance(A) — возвращает масштабированную матрицу В. Пример использования функции balance:
Величина, связывающая погрешность вычисления собственных значений с погрешностью исходных данных, называется числом обусловленности (собственных значений) матрицы и вычисляется следующим образом:
cond(V) = norm(V)*norm(inv(V)) где [V.D]=eig(A).[B=D\A*D, а норма каждого ряда масштабированной матрицы приближается к норме столбца с тем же номером;]
· eig(A) — возвращает вектор собственных значений квадратной полной или симметрической разреженной матрицы А обычно после автоматического масштабирования, но для больших разреженных матриц (в терминологии MATLAB —
это просто полные матрицы со сравнительно большим [ Но небольшим по сравнению с числом нулей разреженной матрицы. Эталонное число нулей разреженной матрицы данного размера можно вычислить, применив к полной матрице этого же размера функцию sparse. — Примеч. ред. ] числом нулей), а также во всех случаях, где помимо собственных значений необходимо получать и собственные вектора разреженной матрицы, вместо нее рекомендовано использовать eigs(A);
· eig(A.B) - возвращает вектор обобщенных собственных значений квадратных матриц А и В;
o [V.D] = eig(A.B) — вычисляет диагональную матрицу обобщенных собственных значений D и матрицу V, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами (правыми собственными векторами), таким образом что А V = В V D;
o [V.D] = eig(A) — вычисляет диагональную матрицу собственных значений О матрицы А и матрицу V, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами (правыми собственными векторами), таким образом что А V = V D.
Нужно использовать [W,D]=e1g(A'); W=W, чтобы вычислить левые собственные вектора, которые соответствуют уравнению W*A=D*W.
· [V.D] = eig(A,'nobalance') — находит собственные векторы и собственные значения без предварительного масштабирования. Иногда это улучшает обусловленность входной матрицы, обеспечивая большую точность вычисления собственных векторов для необычно масштабированных матриц;
· eig(A.B. 'chol') — возвращает вектор, содержащий обобщенные собственные значения, используя разложение матрицы В по методу Холецкого; если А - симметрическая квадратная матрица и В — симметрическая положительно определенная квадратная матрица, то eig(A.B) по умолчанию работает точно так же;
· eig(A,B, 'qz') — не требует, чтобы матрицы были симметрическими и возвращает вектор, содержащий обобщенные собственные значения, используя QZ-алгоритм; при явном указании этого флага QZ-алгоритм используется вместо алгоритма Холецкого даже для симметрической матрицы и симметрической положительно определенной матрицы В, так как может давать более стабильные значения, чем предыдущий метод. Для несимметрических матриц в MATLAB 6 всегда используется QZ-алгоритм и параметр 'chol' или 'qz' игнорируется;
· [V.D] = eig(A.B) — возвращает диагональную матрицу обобщенных собственных значений D и матрицу V, чьи столбцы являются соответствующими собственными векторами, так чтобы A*V=B*V*D. Пример:
· svd(X) — возвращает вектор сингулярных чисел. Команда svd выполняет сингулярное разложение матрицы X;
· [U.S, V] = svd(X) — вычисляет диагональную матрицу S тех же размеров, которые имеет матрица X, с неотрицательными диагональными элементами в порядке их убывания, и унитарные матрицы U и V, так что X=U*S*V ' ;
· [U.S.V] = svd(X.O) — выполняет экономичное сингулярное разложение. Пример:
