Логические операции

Обозначим элементарные высказывания латинскими буквами A, B, C, ... , X, Y, Z ...

Конъюнкция. Обозначается АÙВ (А&В, АВ), читается: А и В. Получили сложное высказывание, составленное из двух элементарных. Значение истинности или ложности высказывания, являющегося конъюнкцией двух элементарных высказываний А и В, задается следующей истинностной таблицей:

Таблица 2.1.1

Все рассматриваемые в дальнейшем логические связи будут задавать с помощью аналогичных истинностных таблиц.

Чаще пользуются более удобным обозначением: «И» – 1, «Л» – 0. В этих обозначениях истинностная таблица конъюнкции будет иметь вид

Таблица 2.1.2

Итак, конъюнкция двух элементарных высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба элементарных высказывания истинны.

Дизъюнкция. Обозначается АÚВ, читается: А или В. При этом разделительный смысл союза «или» исключается. Истинностная таблица дизъюнкции имеет вид:

Таблица 2.1.3

Дизъюнкция двух элементарных высказываний является ложным высказыванием тогда и только тогда, когда оба высказывания, ее составляющие, ложны.

Отрицание.Единственная логическая операция, относящаяся к одному высказыванию, – унарная, в отличие от остальных – бинарных. Обозначается: (>А, ~А), читается: не А. Истинностная таблица имеет вид:

Таблица 2.1.4

Импликация. Обозначается А®В (АÌВ), читается: если А, то В. При этом А называют посылкой, В – следствием. Импликация задается следующей истинностной таблицей:

Таблица 2.1.5

Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка А истинна, а следствие В – ложь.

Двойная импликация. Обозначается А«В (А~В), читается: А тогда и только тогда, когда В. Задается следующей истинностной таблицей:

Таблица 2.1.6

Двойная импликация является истинностным высказыванием тогда и только тогда, когда высказывания А и В, ее составляющие, принимают одинаковое значение истинности или ложности.

Приведем пример. Пусть А и В – элементарные высказывания: А – «Этот четырехугольник – параллелограмм», В – «Этот четырехугольник – ромб». Образуем из этих двух элементарных высказываний сложные, используя перечисленные логические связки.

Сложное высказывание АÙВ, очевидно, читается так: «Этот четырехугольник есть параллелограмм и ромб». Значения истинности и ложности этого высказывания определяется таблицей 2.1.2. Это высказывание считают истинным в том и только в том случае, когда оба высказывания А и В – истинны.

Дизъюнкция указанных высказываний АÚВ читается: «Этот четырехугольник есть параллелограмм или ромб». Значение истинности и ложности этого высказывания определяется таблицей 2.1.3. Очевидно, для импликации и двойной импликации получим соответственно А®В: «Если этот четырехугольник есть параллелограмм, то он – ромб»; А«В «Этот четырехугольник есть параллелограмм тогда и только тогда, когда он – ромб». Значение истинности или ложности этих высказываний определяется таблицами 2.1.5 и 2.1.6. Отрицание к А, т.е. , есть высказывание: «Неверно, что этот четырехугольник есть параллелограмм» или «Этот четырехугольник не параллелограмм».

Пользуясь указанными логическими связками, их истинностными таблицами, можно построить сколь угодно сложное высказывание и найти его истинностную таблицу.

Заметим, что число строк истинностной таблицы, очевидно, равно , где n – число элементарных высказываний.