Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что
xi+1 - xi = h = 
, i = 1, 2, …, n.
На каждом отрезке (xi, xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).
Рис. 2.5
Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:
=
= 
=
= 
[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xn)]=
= [f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xb)]=
= [ f(xa) + f(xb) + 
]. (7)
Таким образом, формула трапеций имеет вид:
I = 
≈ 
. (8)
Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.
Пример (продолжение). □Пользуясь формулой трапеций, вычислить 
при h = 0,2.
Решение. Вычисление интеграла 
методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6-а).
Режим решения
Рис. 6
∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98
Режим показа формул
Рис. 6 - а
Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).
Рис. 7
| ∑ = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45
I = 0,05∙ [(0 -1) + 2∙(-9,45) = -1,00■
| |
