Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Из всех вопросов темы 1.8 изучается вопрос «Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка».

После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно "Методическим указаниям к выполнению контрольной работы".

1.8.1. Решение задачи Коши методом Эйлера

Пусть требуется найти на отрезке [a, b] решение дифференциального уравнения 1-го порядка

(1)

с начальным условием

(2)

(задача Коши). Для этого отрезок, на котором ищется решение задачи, разбивают на частей с шагом и находят значения в точках . Очевидно, что при этом . Значения определяют по формуле

. (3)

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет , где .

Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

,

начальное условие: .

○ Для численного решения заданного уравнения вида (1) с начальным условием (2) нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

; . Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (3) . Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k=1).

.

Вычислим .

Тогда и . И т.д.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы 1.

Таблица 1.

	0,2	0,25	0,6513	0,0651	0,3151
	0,3	0,3151	0,7784	0,0778	0,3929
	0,4	0,3929	0,9316	0,0932	0,4861
	0,5	0,4861	1,1160	0,1116	0,5977
	0,6	0,5977	1,3371	0,1337	0,7314
	0,7	0,7314	1,6019	0,1602	0,8916
	0,8	0,8916	1,9184	0,1918	1,0835
	0,9	1,0835	2,2962	0,2296	1,3131
	1,0	1,3131	2,7466	0,2747	1,5878
	1,1	1,5878	3,2829	0,3283	1,9161
	1,2	1,9161	3,2912	0,3291	2,3081

Т.о., задача решена. ●

Естественно, процесс вычислений проще организовать в табличном процессоре Excel (Табл.2).

Таблица 2.

Решение находятся в ячейках (k = 0,1,…,10). Значения из столбца F переносятся в столбец С со сдвигом на единицу (например, из F6 в С7 и т.д.). Таблица в режиме показа формул – (табл.3).

Таблица 3.

Вопросы для самопроверки по теме 1.8

1. В чём состоит задача Коши?

2. Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.