Численное интегрирование

Изучаемые вопросы: Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.

Здесь также после изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы.

1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла

Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Все эти формулы основаны на свойстве аддитивности определённого интеграла, а именно: интеграл по сумме отрезков равен сумме интегралов по этим отрезкам. Поэтому, если нужно вычислить определённый интеграл от некоторой функции вдоль отрезка , то его можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам разбиения интервала : ,где.

Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка (отрезки , как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции . Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени :

, (1)

где – остаточный член интерполяции.

Т. о., на каждом частичном промежутке

,

где – приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а – величина ошибки на том же промежутке.

Соответственно, приближённое значение интеграла , (2)

а ошибка

. (3)

На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми , и интеграла на частичном промежутке . (Заштрихованная криволинейная трапеция).

Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:

. (4)

Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.

2. Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.