Мощность множества

1. Доказать, что равномощность множеств есть отношение эквивалентности.

ª Пусть отношение равномощности е задано на булеане конечного множества M. Множество X равномощно множеству Y (XеY) означает, что существует взаимно однозначное отображение f множества X на Y: f:X®Y. Согласно определению отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Рефлексивность означает, что диагональ несущего множества целиком входит в отношение, т.е. id_AÍ M, т.е. Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества в себя, например, тождественное отображение, элементами которого являются элементы диагонали несущего множества и только они.

Симметричность означает, что Если XеY, то существует взаимно однозначное отображение f:X®Y. В силу взаимной однозначности отображения f обратное отображение f^—1 :Y®X также является функциональным, следовательно, оно ставит каждому элементу y ÎY единственный элемент xÎX. Следовательно, YеX.

Транзитивность означает, что композиция отношения равномощности с самим собой равна самому себе, т.е., XеY означает, что существует отображение f:X®Y такое, что то "X$!Y:f(X)=Y. Аналогично YеZ означает

"Y$!Z: f (Y)=Z. В силу взаимной однозначности отображения f каждому элементу X оно ставит в соответствие единственный элемент Y, а каждому элементу Y – единственный элемент Z. Пусть (X,Y) Îе·е. Тогда $z: XeZ и ZeY. В силу рефлексивности отношения е, в множестве значений Z найдется значение Z=Y. Тогда (X,Y) Î e и (X,Y)Îe· e. Т.е. e·eÍe. Обратное включение доказывается аналогично, что и доказывает транзитивность отношения эквивалентности. Следовательно, равномощность множеств есть эквивалентность. Это отношение образует разбиение несущего множества М на классы эквивалентности, каждый из которых включает все равномощные подмножества множества М.¨

2. Доказать, что всякое подмножество конечного множества конечно.

3. Доказать, что объединение конечного числа конечных множеств конечно.

4. Доказать, что конечное множество не равномощно никакому своему истинному подмножеству.

5. Доказать, что множество целых чисел счетно.

Для доказательства достаточно найти способ взаимно однозначного сопоставления каждому целому числу единственного натурального числа.

6. Доказать, что мощность множества точек полуокружности равна мощности континуума.

7. Привести геометрическое построение, доказывающее равномощность множества точек двух концентрических окружностей.

8. Доказать, что множества точек внутри квадрата равномощно множеству точек его стороны.