Косвенными называют измерения, в которых результат находят на основании известной зависимости (уравнения измерений) между измеряемой А и другими величинами (аргументами) а1, а2, … аі,…аМ, значения которых получают любым видом измерений, например, прямыми.
Методы оценивания результатов косвенных измерений зависит от вида уравнения измерений (явный или неявный) и, в свою очередь, от линейной или нелинейной зависимости между измеряемой величиной и измеренными аргументами.
Уравнение измерений в явном виде может быть представлено как
А = F(а1, а2, … аі,…аМ)
Линейная зависимость между А и аі выражается формулой
А = b1а1 + b2а2 + … + biаі+ … + bMаМ,
где bi – постоянные коэффициенты.
В уравнениях измерений с нелинейной зависимостью между А и аі используются нелинейные математические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, тригонометрические функции и др., например:
А = b1а1α1 * b2а2 α2 * … * biаі αi * … * bMаМ αм.
Результат Ā косвенного измерения как при линейных так и при нелинейных уравнениях измерений явного вида находят подстановкой в них результатов измерений аргументов ā1, ā2, …, āi, …, āМ, т.е.
Ā = F(ā1, ā2, …, āi, …, āМ).
Доверительные границы систематической составляющей погрешности ΔС(Рд) результата косвенного измерения находят в зависимости от формы представления погрешностей не исключенных систематических составляющих погрешностей аргументов и вида уравнений измерений.
Так, если погрешности результатов аргументов представлены границами ΔΣi, то
ΔС =
для линейных уравнений измерений или
ΔС =
для нелинейных уравнений измерений.
Здесь М – число i – ых составляющих погрешностей;
– частная производная функции А по i – му аргументу. Значения производной вычисляются при подстановке результатов ā1, ā2, …, āi, …, āМ.
Если систематические погрешности аргументов представлены доверительными границами ΔΣ(Рд), то
для линейных уравнений измерений
ΔС(Рд) = m
для линейных уравнений измерений
ΔС(Рд) = m
здесь mi – коэффициент, зависящий от принятой при обработке результатов i – го аргумента доверительной вероятности Рдi (см. ГОСТ 8207 – 76)
Ниже в таблице представлены формулы для приближённой оценки абсолютных и относительных погрешностей результатов наиболее часто используемых уравнений косвенных измерений. Оценки погрешностей аргументов представлены границами не исключенных систематических составляющих погрешностей (т.е. результат измерения аргументов представлен в виде ā ± ).
Таблица 7.1
Уравнение измерений величины Х
Погрешность
абсолютная, ΔА
относительная, δА=ΔА/А
Х = Аа + Вв
Х = Аа – Вв
Х =
X = aαbβ
Последовательность решения задачи
Ø Определить уравнение измерений.
Ø По характеристикам средств измерений и показаний приборов, учитывая метод и условия прямых измерений, оценить погрешность и определить результат измерений аргументов, входящих в уравнение измерений.
Ø Учитывая форму представления погрешности результатов измерения аргументов оценить погрешность результата косвенного измерения.
Ø Определить результат косвенного измерения и представить его в установленной форме.
Пример решения задачи
Найти и представить в установленной стандартом форме результат косвенного измерения мощности Р, проведенного при помощи вольтметра, амперметра и измерителя коэффициента мощности cosφ.
Характеристики и установленные прямыми однократными измерениями показания приборов приведены в таблице. Методической и субъективной составляющими погрешности пренебречь. Условия измерения нормальные.
Таблица 7.2
Уравнение измерений
Прибор
Предел (диапозон) измерения
Класс точности
Показания прибора
P = UIcosφ
Вольтметр
200 V
0.5/0.1
127 V
Амперметр
5 A
1.5
4 A
Измеритель cosφ
-0.5…1…+0.5
2.5
0.8
Решение
1. Установим результаты и погрешности измерений аргументов.
Т.к. прямые однократные измерения U, I, cosφ выполнены в нормальных условиях, то погрешность результата измерения будет равна основной погрешности прибора, а за результат примем показания прибора.
Измерение напряжения U:
Измерения тока I:
Измерение коэффициента мощности cosφ
2. Оценим погрешность результата измерения
Т.к. погрешности результатов прямых измерений U, I, cosφ представлены границами не исключенных систематических составляющих погрешности, то для расчёта погрешности результата косвенного измерения воспользуемся формулой:
– частная производная функции А по i – му аргументу. Значения производной вычисляются при подстановке результатов ā1, ā2, …, āi, …, āМ.
).
2.5
= I*cosφ = 4*0,8А = 3,2 А
= U*cosφ = 127*0,8V = 101,6 V
= U*I = 127*4 VA = 508 V*A
