Функции

Бинарное отношение Р называется однозначным, если для всякого элемента xÎпр₁Р существует не более одного (а может быть и вовсе ни одного) значения yÎпр₂Р.

Всюду определенное и однозначное бинарное отношение fÍA´B называется функцией или отображением множества А в множество В. Если А и В числовые множества, то функция называется числовой.

Для отображений чаще используются обозначения вида: f : A®B или A B. Пару (х, у) Îf чаще обозначают y = f(x), и поскольку отображение – это частный случай бинарных отношений, то определены все ранее введенные понятия: образа и прообраза для элементов и множеств, области определения и области значений отображения (или функции), а также понятия композиции отображений и обратного отображения.

Отображение (функция) называется постоянным, если " х₁ ¹ х₂Î A следует f(x₁) = f(x₂). Элемент хÎA называется неподвижной точкой отображения, если f(x) = x.

Отображение f : A®B называется инъективным или взаимно-однозначным отображением множества А в В, если для " х₁ ¹ х₂Î A Þ f(x₁) ¹ f(x₂). Т.е. каждый образ имеет только один прообраз. Подчеркнем, что не все элементы множества В обязаны иметь прообраз (должны быть чьими-нибудь образами).

Отображение называется сюрьективным (или сюрьекцией или отображением множества А на множество В), если f(A) = B или " yÎB $xÎA (один или несколько) и y=f(x), т.е. все элементы множества В являются чьими-нибудь образами (имеют по крайней мере один прообраз).

Отображение называется биективным (биекцией или взаимно однозначным отображением A на B), если оно одновременно инъективно и сюрьективно.

Биективное отображение A на А называется тождественным отображением, если все его элементы являются неподвижными точками, т.е. " xÎA следует, что f(x) = x.

Утверждения:

1) Если f : A®В и g : В®С – две функции, то g ∘ f: A→C – тоже является функцией.

2) Пусть f : A®В – функция. Для того, чтобы f ^‑1: В®А было функцией, необходимо и достаточно, чтобы f было биективным отображением. В этом случае f ^–1 называется отображением, обратным к f, или обратной функцией. При этом f ^‑1 – также биективно, f ^‑1∘ f =I_A – тождественное отображение А и f ∘ f ^‑1=I_B – тождественное отображение В.

Отображение f : A®В называется обратимым слева (справа), если существует отображение f_Л^‑1: В®А ( f_П^‑1: В®А ) такое, что f _Л^‑1∘ f =I_A ( f ∘ f _П^‑1=I_B ).

Критерий обратимости слева (справа)

Для того, чтобы отображение f : A®В было обратимым слева (справа), необходимо и достаточно чтобы оно было инъективным (сюрьективным).