Краткая справка по рассматриваемым методам

Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε.

Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой

Метод Ньютона (касательных). При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Затем в точке(x₀,F(x₀)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x₁. В точке (x₁,F(x₁)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x₂ и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(x_i)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой

Условие сходимости метода касательных F(x₀)∙F''(x₀)>0.

Метод секущих. Если в методе касательных производную функции F'(x_i) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных

.

Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.

Рекомендуемая литература:

1. Самарский А..А., Гулин А.В. Численные методы. Учеб. Пособие для вузов. – М.: Наука. 1989. – 432С.

2. Численные методы: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика»/ М.Г. Бояршинов; ПГТУ.Пермь. 1998. 176С.