Алгебра множеств. Законы алгебры множеств. Доказать один из законов алгебры множеств.

Множество. Основные понятия (определение, принадлежность элемента множеств, подмножество множества, включение множества, равенство множеств, собственное подмножество, мощность множества, пустое множество, универсальное множество).

Ответ:

Определение: под множеством понимается, совокупность каких либо объектов произвольной природы, обладающая некоторым общим признаком.

Принадлежность элемента множеств: Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими. Если x — элемент множества А, то записывают (x принадлежит А). Если x не является элементом множества А, то записывают (x не принадлежит А).

Подмножество множества: Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают (или )

Включение множества: Отношение включения. Говорят, что множество B включено во множество A, если каждый элемент B принадлежит A. Обозначение: B A.

Равенство множеств: Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Собственное подмножество: Множества A и называются несобственными подмножествами множества A. Все остальные подмножества множества A, если они существуют, – собственныеподмножества A.

Мощность множества: Пусть даны два множества A и B. Тогда они называются равномощными, если между ними существуетбиекция . Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества A называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается | A | . Тот факт, что два множества равномощны, записывается: | A | = | B | .

Пустое множество: Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение:

Универсальное множество: Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Множество. Способы задания множеств (перечислением или списком, порождающей процедурой, описанием характеристического свойства). Привести примеры.

Ответ:

под множеством понимается, совокупность каких либо объектов произвольной природы, обладающая некоторым общим признаком.

А) Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = { 1, 2, a, x } или B = { река Нил, город Москва, планета Уран}.

Б) Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись A = { xP( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )". Например, B = { x x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

В) Множество можно задать порождающей процедурой, например:

D = { z1  D,и если z  D,то z + 3  D},

E = { x x = 3^k, k  любое нартуральное число.}

Г) Графически: с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение). Диаграммы Венна. Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна операции над множествами. Привести примеры.

Ответ:

Объединение Объедине́ние мно́жеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B. Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: . Объединение двух множеств

Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением называется множество

Объединение более чем двух множеств. Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Пересечение(Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.)

Разность Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как

Дополнение Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается Кратко это можно записать так: Очевидно, что для любого

Симметрическая разность Симметрическая разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество элементов этих множеств, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность множеств A и Bобозначается как В некоторых источниках используется другое обозначение:

Диаграммы Венна:Круги́ Э́йлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все 2ⁿ комбинаций n свойств, то есть конечнуюбулеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннеготреугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна операции над множествами.

Пересечение. объединение. разность. дополнение.

Симметрическая разность.

Привести примеры.

Пересечение. Пусть Тогда

Объединение. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

Разность. Пусть . Тогда

Симметрическая разность. Пусть Тогда

Алгебра множеств. Законы алгебры множеств. Доказать один из законов алгебры множеств.

Алгеброй множеств⁷⁾ называется пара , где — некоторая совокупность множеств, а — набор операций над множествами. Обычно полагают, что — множество всех подмножеств универсума , а в качестве берут рассмотренные выше операции