Рассмотрим формулу 2sinXcosY=sin(X+Y)+sin(X-Y)
Обозначим в правой части этой формулы X+Y через 
, а X-Y через 
.
Складывая и вычитая равенства X+Y= и X-Y= ,
находим, что X=2 
+ 
, Y=2 −
подставляя эти выражения в левую часть формулы и читая формулу справа налево, получаем окончательно:
sin +sin =2sin2 + cos2 −
Подставляя в только что полученную формулу - вместо ,
получаем sin −sin =2sin2 − cos2 + .
Аналогично можно вывести все остальные формулы
cos +sin = 
2sin(4 
)= 2cos(4 
)
