Комплексное число (к.ч.) имеет вид

Дата добавления: 2015-07-23; просмотров: 1015; Нарушение авторских прав

А=а + jв, (1)

где а и в – действительные числа, а j = - мнимая единица, а называется действительной, или вещественной частью к.ч., а в – его мнимой частью (обозначения а = Rе(A), в = Im(A)).

Два к.ч. A и A ^* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаком их мнимых частей:

если

А = а + jв, (2)

то

А² = а - jв,

Сумма и произведение к.ч. - действительные числа:

А+А^* = 2ReA , (3)

A*A^* = A²,

где А= называется модулем, или абсолютной величиной к.ч.

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствии точку на комплексной плоскости, абциссе которой соответствует вещественная, а ординате – мнимая составляющие к.ч. (рис 1.). К.ч. (1) можно отождествить с вектором (А) с координатами а и в,приложенным в началекоординат (рис. 2)

+j +j

в

А

φ

+1 +1

а

Рис 1. Рис 2.

При такой интерпретации сложение и вычитание к.ч. производится по правилам сложение и вычитание векторов. Однако умножение и деление к.ч. не имеют непосредственных аналогов в векторной алгебре.

Применяя полярные координаты на комплексной плоскости – радиус- вектор А и полярный угол

φ = ArgA = arctg + k , (4)

называемый аргументом к.ч., получают тригометрическую, или полярную форму к.ч.:

А=А(Cosφ + jSinφ),

Acosφ = Re(A), Sinφ = Im(A) (5)

Аргумент φ является многозначной действительной функцией к.ч. А ¹ 0 , значения которого для данного А отличаются одно от другого на целое кратное 2 . Аргумент φ считается положительным при отсчёте от положительной вещественной полуоси против часовой стрелки. Ниже приведены формулы, при котором вычисление аргумента φ сводится к определению острого угла (рис. 3), равного

arctg = arctg .

+j

А₂ А₁

+j

φ +1

+1

- φ

-j

А₃ А₄

Рис 3.

1 квадрант:

Re (A₁)>0

Im (A₁)>0 φ₁ = arctg

А₁= а + jв

2 квадрант:

Re (A₂)<0

Im (A₂)>0

А₂= - а + jв φ₂ = + arctg

3 квадрант:

Re (A₃)<0

Im (A₃)<0 φ₃ = π+ arctg

А₃= - а – jв

4 квадрант:

Re (A₄)>0 φ₄ = arctg

Im (A₄)<0 или

А₄= - а - jв φ₄ = - arctg

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Линейные электрические цепи синусоидального тока	\|	Формулы Эйлера