Розв’язок.

Множина є доповненням множини , яка представлена на рис. 1.3, тому зобразимо зафарбованою областю, показаною на рис. 1.4.

Рисунок 1.3 - Операція

Рисунок 1.4 - Операція

Множині і множині відповідають зафарбовані області діаграм Эйлера-Венна на рис. 1.5.

а) операція б) операція

Рисунок 1.5 - Операції і

Множині відповідають ті частини, які зафарбовані на обох попередніх діаграмах Эйлера-Венна, тому на рис. 1.6 вона може бути зображена таким чином:

Рисунок 1.11 - Операція

Показали, що і множина , і множина однаково зображуються на діаграмі Эйлера-Венна, тому ці множини рівні, тобто .

2 ВІДНОШЕННЯ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

2.1 Мета заняття

Ознайомлення на практичних прикладах з основними поняттями відношень на множинах. Вивчення способів задання бінарних відношень, операцій над відношеннями. Вивчення та аналіз основних властивостей бінарних відношень, а також деяких класів відношень, які часто зустрічаються при розв’язанні практичних завдань (відношень еквівалентності, порядку і толерантності).

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Під час підготовки до практичного заняття необхідно повторити лекційний матеріал, розділи літератури [1-10] з таких питань: декартів добуток множин; бінарні та n-арні відношення; область визначення та область значень відношень; способи задання відношень; операції над відношеннями; властивості бінарних відношень; класи бінарних відношень (відношення еквівалентності, порядку і толерантності).

Підготовка і виконання практичного заняття проводиться за два етапи. Перший етап пов’язаний з вивченням на практичних прикладах наступних основних понять і визначень теорії відношень: декартів (прямий) добуток множин; декартова степінь; декартів квадрат, декартів куб множин; -арне відношення; унарне, бінарне відношення; область визначення відношення; область значень відношення; відповідність; повне, тотожне, порожнє відношення; матричний спосіб задання відношень; переріз відношень; фактор-множина; об’єднання, перетин, різниця, доповнення відношень; симетричне (обернене) відношення; композиція відношень; рефлексивні, антирефлексивні, симетричні, антисиметричні, асиметричні, транзитивні, антитранзитивні відношення; відношення еквівалентності; клас еквівалентності; система представників; відношення часткового порядку; частково впорядкована множина; порівнянні та непорівнянні елементи відношень; лінійний порядок; лінійно впорядкована множина (ланцюг); відношення нестрогого і строгого порядку; відношення толерантності.

При виконанні першого етапу студент повинен запропонувати і записати індивідуальний приклад для кожного з розглянутих вище понять і визначень.

Другий етап виконання практичного заняття пов’язаний з розв’язуванням практичних завдань, що надаються у підрозділі 2.3, на основі запропонованих типових прикладів (див. підрозділ 2.4).

2.3 Контрольні запитання і завдання

2.3.1 Контрольні запитання

1. Як зв’язані між собою теорія множин і теорія відношень?

2. Поясніть поняття кортежу. Наведіть приклади кортежів.

3. Що таке «прямий» («декартів») добуток множин?

4. Як визначається потужність декартова добутку?

5. Що таке відношення множин?

6. Яке відношення називається -арним, унарним, бінарним?

7. Що таке тотожне, повне і порожнє відношення?

8. Нехай - деяка множина. Що буде означати запис , , , ?

9. Що є областю визначення та областю значення відношення ?

10. Наведіть характеристику способів задання відношень.

11. Які зі способів задання відношень використовуються для -арних відношень, якщо ?

12. Перелічить операції над відношеннями.

13. Дайте визначення перерізу відношення за елементом .

14. Що таке фактор-множина множини за відношенням ?

15. Назвіть специфічні операції над відношеннями.

16. Що таке композиція відношень? Наведіть приклади.

17. Що таке симетризація відношення?

18. Яке відношення називається оберненим?

19. Перелічить основні властивості відношень.

20. Що таке рефлексивність відношень? Наведіть приклади.

21. Яке відношення є антирефлексивним? Наведіть приклади.

22. Яке відношення є симетричним, а яке відношення є асиметричним?

23. Яке відношення є антисиметричним?

24. Яке відношення є транзитивним, а яке - антитранзитивним?

25. Яке відношення в множині називається відношенням еквівалентності?

26. Яке відношення в множині називається відношенням нестрогого порядку, а яке називається відношенням строгого порядку?

2.3.2 Контрольні завдання

Завдання 1. Знайти декартів добуток множин , і .

Завдання 2. Нехай і , де - множина натуральних чисел. З яких елементів складаються множини і ?

Завдання 3. Побудувати граф і записати список елементів для відношення, яке визначене на множині наступною матрицею

Завдання 4. Побудувати матрицю і записати список елементів для відношень і , що задаються графічно на рис. 2.1.

а) відношення б) відношення

Рисунок 2.1 - Відношення і , що задаються графічно